"Tener paja" significa
Tener desgano, no tener ganas de hacer nada.
Por lo que la frase del ejemplo significa "Él no tiene ganas de nada y ella quiere cambiar el mundo (lo que implica un montón de trabajo)".
Es una expresión argentina, aunque quizá sea entendida y usada en otros países de América latina (no así en España, donde se usaría un equivalente como "Ha nacido cansado" o similar, para expresar que alguien nunca tiene ganas de nada). Desde luego es jerga o lenguaje coloquial.
Se puede usar la expresión "tener paja" en otros contextos (por lo menos en España, no sé si esto es así en otros países latinoamericanos) para expresar que tiene "algo que sobra o carente de valor". Es la simplificación de la expresión "Mucha paja y poco trigo". Por ejemplo, puedes decir que un autor rellena su libro con mucha paja (el libro tiene mucha paja) para expresar que mete muchas cosas que no aportan demasiado con el simple fin de "engordar" el libro.
Hay otra expresión similar que es "tener una paja mental", que no implica tener cansancio o vaguedad, sino un lío o desorden "mental".
Paja = Vagancia (Hace todo sin ganas... o directamente no lo hace :P)