How to evaluate this sum $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n^2 + 3n + 1)(n^2 - 3n + 1)}$$
My attempt
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n^2 + 3n + 1)(n^2 - 3n + 1)}$$
$$= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1 + 1}}{(n^2 + 2 \cdot \frac{3}{2}n + 1)(n^2 - 2 \cdot \frac{3}{2}n + 1)}$$
$$ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1} \cdot (-1)}{(n^2 + 2 \cdot \frac{3}{2}n + \frac{9}{4} - \frac{5}{4})(n^2 - 2 \cdot \frac{3}{2}n + \frac{9}{4} - \frac{5}{4})} $$
$$= - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(n^2 + 2 \cdot \frac{3}{2}n + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2)(n^2 - 2 \cdot \frac{3}{2}n + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2)}$$
$$= - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{[(n + \frac{3}{2})^2 - (\frac{\sqrt{5}}{2})^2][(n - \frac{3}{2})^2 - (\frac{\sqrt{5}}{2})^2]}$$
$$ = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(n + \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2})(n + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})(n - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2})(n - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})}$$
$$ = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{[n + \frac{3 - \sqrt{5}}{2}][n + \frac{3 + \sqrt{5}}{2}][n - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}][n - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}]}$$
$$= - \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{[n + \frac{3 + \sqrt{5}}{2}][n - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}]} \cdot \frac{1}{[n + \frac{3 - \sqrt{5}}{2}][n - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}]}$$
$$= - \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot \frac{(3 + \sqrt{5} + n - n)}{(3 + \sqrt{5})[n + \frac{3 + \sqrt{5}}{2}][n - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}]} \cdot \frac{(3 - \sqrt{5} + n - n)}{(3 - \sqrt{5})[n + \frac{3 - \sqrt{5}}{2}][n - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}]}$$
$$= = -\frac{1}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot \frac{\left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + n - n\right)}{\left[n + \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right]\left[n - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right]} \cdot \frac{\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + n - n\right)}{\left[n + \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right]\left[n - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right]}$$
$$= -\frac{1}{3^2 - (\sqrt{5})^2} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot \frac{\left(n + \frac{3 + \sqrt{5}}{2} - n + \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)}{\left[n + \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right]\left[n - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right]} \cdot \frac{n + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} - n + \frac{3 - \sqrt{5}}{2}}{\left[n + \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right]\left[n - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right]}$$
$$- \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left[\frac{1}{n - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{1}{n + \frac{3 + \sqrt{5}}{2}}\right]\left[\frac{1}{n - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}} - \frac{1}{n + \frac{3 - \sqrt{5}}{2}}\right]$$