How can we show that:
$||x||_\infty \leq ||x||_2 \leq \sqrt{n} ||x||_\infty$
$||A||_\infty \leq \sqrt{n}||A||_2 \leq n||A||_\infty$
Where A is $n\times n$ and $x$ is $n$ vector.
I think this implies the equivalence of these norms for finite $n$, that is boundedness in one norm also means boundedness in the other.
$$ \frac{\|A\|_{\infty}}{\|A\|_2} =\frac{\max\limits_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_{\infty}}{\|x\|_{\infty}}}{\max\limits_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2}} \leq \max\limits_{x\neq 0}\frac{\frac{\|Ax\|_{\infty}}{\|x\|_{\infty}}}{\frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2}} =\max\limits_{x\neq 0} \left(\frac{\|Ax\|_{\infty}}{\|Ax\|_2}\cdot \frac{\|x\|_2}{\|x\|_{\infty}}\right) \\ \leq\max\limits_{x\neq 0} \frac{\|Ax\|_{\infty}}{\|Ax\|_2}\cdot \max\limits_{x\neq 0} \frac{\|x\|_2}{\|x\|_{\infty}} =1\cdot \sqrt{n} = \sqrt{n} $$ and $$ \frac{\|A\|_2}{\|A\|_{\infty}} =\frac{\max\limits_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2}}{\max\limits_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_{\infty}}{\|x\|_{\infty}}} \leq \max\limits_{x\neq 0}\frac{\frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2}}{\frac{\|Ax\|_{\infty}}{\|x\|_{\infty}}} =\max\limits_{x\neq 0} \left(\frac{\|Ax\|_2}{\|Ax\|_{\infty}}\cdot \frac{\|x\|_{\infty}}{\|x\|_2}\right) \\ \leq\max\limits_{x\neq 0} \frac{\|Ax\|_2}{\|Ax\|_{\infty}}\cdot \max\limits_{x\neq 0} \frac{\|x\|_{\infty}}{\|x\|_2} =\sqrt{n}\cdot 1 = \sqrt{n} $$
