Here are the first 37 elements of a list of 456 that are obtained by imposing the constraint that ones, tens, and hundreds should appear in non-decreasing order from left to right. (As noted by Abraham Zhang in a comment, permuting digits of equal weight does not change the sum.) Many more combinations are possible if that constraint is removed or weakened.
Which elements (if any) of this list contradict your rules? If some do, why?
1 : 2 + 2 + 3 + 3 + 14 + 46 + 57 + 57 + 168 + 998 = 1350
2 : 1 + 1 + 2 + 3 + 43 + 54 + 65 + 86 + 297 + 798 = 1350
3 : 1 + 2 + 3 + 4 + 14 + 25 + 65 + 68 + 379 + 789 = 1350
4 : 2 + 2 + 3 + 4 + 14 + 15 + 65 + 67 + 389 + 789 = 1350
5 : 1 + 1 + 2 + 2 + 36 + 36 + 47 + 47 + 589 + 589 = 1350
6 : 1 + 1 + 2 + 2 + 36 + 36 + 47 + 48 + 578 + 599 = 1350
7 : 1 + 1 + 2 + 3 + 24 + 37 + 47 + 68 + 568 + 599 = 1350
8 : 1 + 1 + 2 + 3 + 24 + 36 + 47 + 68 + 579 + 589 = 1350
9 : 1 + 1 + 2 + 2 + 34 + 37 + 47 + 68 + 569 + 589 = 1350
10 : 1 + 1 + 2 + 4 + 25 + 35 + 47 + 68 + 368 + 799 = 1350
11 : 1 + 2 + 2 + 3 + 15 + 45 + 47 + 68 + 368 + 799 = 1350
12 : 1 + 1 + 2 + 3 + 25 + 45 + 47 + 68 + 369 + 789 = 1350
13 : 1 + 1 + 2 + 3 + 25 + 46 + 47 + 58 + 368 + 799 = 1350
14 : 1 + 2 + 2 + 4 + 15 + 35 + 46 + 68 + 378 + 799 = 1350
15 : 1 + 1 + 2 + 2 + 43 + 54 + 65 + 87 + 397 + 698 = 1350
16 : 1 + 1 + 2 + 2 + 33 + 64 + 65 + 87 + 497 + 598 = 1350
17 : 1 + 1 + 2 + 2 + 33 + 54 + 76 + 86 + 497 + 598 = 1350
18 : 1 + 1 + 2 + 2 + 34 + 54 + 75 + 86 + 397 + 698 = 1350
19 : 1 + 2 + 2 + 3 + 53 + 54 + 64 + 76 + 197 + 898 = 1350
20 : 1 + 2 + 4 + 4 + 25 + 35 + 36 + 67 + 178 + 998 = 1350
21 : 2 + 2 + 3 + 3 + 14 + 74 + 75 + 85 + 196 + 896 = 1350
22 : 1 + 3 + 3 + 4 + 14 + 26 + 26 + 77 + 598 + 598 = 1350
23 : 2 + 2 + 3 + 4 + 14 + 35 + 56 + 67 + 178 + 989 = 1350
24 : 1 + 2 + 3 + 4 + 24 + 35 + 57 + 67 + 168 + 989 = 1350
25 : 2 + 2 + 3 + 3 + 14 + 45 + 57 + 67 + 168 + 989 = 1350
26 : 1 + 1 + 2 + 2 + 53 + 64 + 74 + 75 + 389 + 689 = 1350
27 : 1 + 2 + 2 + 3 + 53 + 64 + 64 + 75 + 187 + 899 = 1350
28 : 1 + 1 + 2 + 3 + 53 + 64 + 64 + 75 + 288 + 799 = 1350
29 : 2 + 2 + 3 + 3 + 14 + 14 + 67 + 67 + 589 + 589 = 1350
30 : 1 + 1 + 3 + 4 + 24 + 35 + 57 + 67 + 269 + 889 = 1350
31 : 1 + 1 + 3 + 3 + 25 + 45 + 47 + 67 + 269 + 889 = 1350
32 : 1 + 1 + 3 + 4 + 25 + 35 + 46 + 67 + 279 + 889 = 1350
33 : 1 + 1 + 2 + 4 + 35 + 35 + 47 + 67 + 269 + 889 = 1350
34 : 1 + 3 + 3 + 4 + 25 + 25 + 46 + 76 + 178 + 989 = 1350
35 : 1 + 1 + 2 + 2 + 34 + 64 + 75 + 85 + 387 + 699 = 1350
36 : 1 + 1 + 3 + 3 + 24 + 26 + 47 + 67 + 589 + 589 = 1350
37 : 1 + 1 + 3 + 3 + 26 + 26 + 47 + 47 + 598 + 598 = 1350
EDIT: With the "original problem" described in a comment, in which
$$(a + bc + def + gh + i) + (i + hg + fed + cb + a) = 1350 \enspace,$$
the following are the first 37 of 480 solutions obtained by imposing the constraint that $a<i$, $c<h$, and $d<f$:
1 : 1 + 23 + 456 + 78 + 9 + 9 + 87 + 654 + 32 + 1 = 1350
2 : 6 + 14 + 397 + 25 + 8 + 8 + 52 + 793 + 41 + 6 = 1350
3 : 6 + 24 + 397 + 15 + 8 + 8 + 51 + 793 + 42 + 6 = 1350
4 : 7 + 64 + 318 + 25 + 9 + 9 + 52 + 813 + 46 + 7 = 1350
5 : 7 + 54 + 318 + 26 + 9 + 9 + 62 + 813 + 45 + 7 = 1350
6 : 7 + 24 + 318 + 65 + 9 + 9 + 56 + 813 + 42 + 7 = 1350
7 : 1 + 73 + 258 + 64 + 9 + 9 + 46 + 852 + 37 + 1 = 1350
8 : 2 + 84 + 367 + 15 + 9 + 9 + 51 + 763 + 48 + 2 = 1350
9 : 2 + 14 + 367 + 85 + 9 + 9 + 58 + 763 + 41 + 2 = 1350
10 : 8 + 63 + 427 + 15 + 9 + 9 + 51 + 724 + 36 + 8 = 1350
11 : 8 + 53 + 427 + 16 + 9 + 9 + 61 + 724 + 35 + 8 = 1350
12 : 8 + 35 + 427 + 16 + 9 + 9 + 61 + 724 + 53 + 8 = 1350
13 : 8 + 15 + 427 + 36 + 9 + 9 + 63 + 724 + 51 + 8 = 1350
14 : 8 + 61 + 427 + 53 + 9 + 9 + 35 + 724 + 16 + 8 = 1350
15 : 8 + 61 + 427 + 35 + 9 + 9 + 53 + 724 + 16 + 8 = 1350
16 : 8 + 51 + 427 + 63 + 9 + 9 + 36 + 724 + 15 + 8 = 1350
17 : 8 + 13 + 427 + 65 + 9 + 9 + 56 + 724 + 31 + 8 = 1350
18 : 8 + 31 + 427 + 65 + 9 + 9 + 56 + 724 + 13 + 8 = 1350
19 : 8 + 31 + 427 + 56 + 9 + 9 + 65 + 724 + 13 + 8 = 1350
20 : 8 + 51 + 427 + 36 + 9 + 9 + 63 + 724 + 15 + 8 = 1350
21 : 8 + 13 + 427 + 56 + 9 + 9 + 65 + 724 + 31 + 8 = 1350
22 : 6 + 12 + 397 + 54 + 8 + 8 + 45 + 793 + 21 + 6 = 1350
23 : 6 + 52 + 397 + 14 + 8 + 8 + 41 + 793 + 25 + 6 = 1350
24 : 6 + 42 + 397 + 15 + 8 + 8 + 51 + 793 + 24 + 6 = 1350
25 : 4 + 82 + 357 + 19 + 6 + 6 + 91 + 753 + 28 + 4 = 1350
26 : 4 + 92 + 357 + 18 + 6 + 6 + 81 + 753 + 29 + 4 = 1350
27 : 4 + 28 + 357 + 19 + 6 + 6 + 91 + 753 + 82 + 4 = 1350
28 : 4 + 25 + 387 + 16 + 9 + 9 + 61 + 783 + 52 + 4 = 1350
29 : 8 + 43 + 526 + 17 + 9 + 9 + 71 + 625 + 34 + 8 = 1350
30 : 8 + 34 + 526 + 17 + 9 + 9 + 71 + 625 + 43 + 8 = 1350
31 : 8 + 73 + 526 + 14 + 9 + 9 + 41 + 625 + 37 + 8 = 1350
32 : 7 + 42 + 516 + 38 + 9 + 9 + 83 + 615 + 24 + 7 = 1350
33 : 7 + 32 + 516 + 48 + 9 + 9 + 84 + 615 + 23 + 7 = 1350
34 : 7 + 23 + 516 + 48 + 9 + 9 + 84 + 615 + 32 + 7 = 1350
35 : 8 + 13 + 526 + 47 + 9 + 9 + 74 + 625 + 31 + 8 = 1350
36 : 8 + 14 + 526 + 37 + 9 + 9 + 73 + 625 + 41 + 8 = 1350
37 : 8 + 31 + 526 + 47 + 9 + 9 + 74 + 625 + 13 + 8 = 1350