Дмитрий Васильев - Задачи ассиметричной криптографии

Àñèììåòðè÷íàÿ êðèïòîãðàôèÿ
Äìèòðèé Âàñèëüåâ
ßíäåêñ
Ìîñêâà, 2014

Ñèììåòðè÷íàÿ êðèïòîãðàôèÿ

Àëèñà(A) è Áîá(B) õîòÿò îáìåíèâàòüñÿ ñîîáùåíèÿìè, êîòîðûå
íèêòî êðîìå íèõ íå ìîæåò ïðî÷èòàòü.

Îáùèé ñåêðåòíûé êëþ÷ K:

Øèôðîâàíèå: EK(m) = c:

Äåøèôðîâàíèå: DK(c) = m:

Òðåáîâàíèÿ ê ñõåìå øèôðîâàíèÿ:

1) Êîððåêòíîñòü: DK(EK(m)) = m:

1) Êîððåêòíîñòü: DK(EK(m)) = m:
2) Ñòîéêîñòü.

Àëèñà õî÷åò, ÷òîáû êòî óãîäíî ìîã íàïèñàòü åé ñîîáùåíèå, íî
ïðî÷èòàòü åãî ìîãëà òîëüêî îíà.

Ïàðà èç îòêðûòîãî è çàêðûòîãî êëþ÷åé (e; d).
Êëþ÷ e èçâåñòåí âñåì, d òîëüêî Àëèñå.

Øèôðîâàíèå: Ee(m) = c:

Äåøèôðîâàíèå: Dd (c) = m:

Äåøèôðîâàíèå: Dd (c) = m:
1) Êîððåêòíîñòü: Dd (Ee(m)) = m:
2) Ñòîéêîñòü.

Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü è ôóíêöèÿ Ýéëåðà
ÍÎÄ äâóõ öåëûõ ÷èñåë a; b ýòî íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ
íà âñå îáùèå äåëèòåëè a; b.
×èñëà íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè, åñëè èõ ÍÎÄ ðàâåí 1.
Ôóíêöèÿ Ýéëåðà (n) ðàâíà êîëè÷åñòâó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò
1 äî n, êîòîðûå âçàèìíî ïðîñòû ñ n.
Òåîðåìà Ýéëåðà: åñëè (a; n) = 1, òî a(n) 1 (mod n):

RSA
0) Âûáèðàåì ïðîñòûå ÷èñëà p; q. Ïóñòü N = pq.

RSA
1) Âûáèðàåì ÷èñëî e òàê, ÷òîáû (e; (N)) = 1. Ïóáëèêóåì e è
N.

RSA
N.
2) Íàõîäèì d, äëÿ êîòîðîãî ed 1 (mod (N)):

RSA
N.
Ee(m) me (mod N):

RSA
N.
Ee(m) me (mod N):
Dd (m) md (mod N):

RSA
N.
Ee(m) me (mod N):
Dd (m) md (mod N):
Êîððåêòíîñòü:
(me)d med m (mod N)

RSA
N.
Ee(m) me (mod N):
Dd (m) md (mod N):
(me)d med m (mod N)
Çàäà÷à ïðîòèâíèêà â òîì, ÷òîáû ïî N; e âû÷èñëèòü d. Ýòà
çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å ôàêòîðèçàöèè: ðàçëîæèòü N íà
ìíîæèòåëè.

Äîêàçàòåëüñòâà ñ íóëåâûì ðàçãëàøåíèåì.

Òðåáîâàíèÿ:

1) Ïîëíîòà. Åñëè Àëèñà è Áîá ñëåäóþò ïðîòîêîëó, è Àëèñà
çíàåò ñåêðåò, âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ Áîáîì äîêàçàòåëüñòâà
ðàâíà 1.

ðàâíà 1.
2) Êîððåêòíîñòü. Åñëè Àëèñà íå çíàåò ñåêðåò, òî îíà ñìîæåò
äîêàçàòü îáðàòíîå ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ

ðàâíà 1.
2) Êîððåêòíîñòü. Åñëè Àëèñà íå çíàåò ñåêðåò, òî îíà ñìîæåò
äîêàçàòü îáðàòíîå ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ
3) Íóëåâîå ðàçãëàøåíèå. Â õîäå äîêàçàòåëüñòâà Áîá íå óçíàåò

ñîäåðæàòåëüíóþ èíôîðìàöèþ, êîòîðàÿ áû ïîçâîëèëà åìó
ñàìîñòîÿòåëüíî äîêàçûâàòü çíàíèå ñåêðåòà.

Äîêàçàòåëüñòâà ñ íóëåâûì ðàçãëàøåíèåì. Ïðèìåð.

Ãîëüäðàéõ, Ìèêàëè, Âèãäåðñîí, 1991.

Ïóñòü G0 = (V; E0);G1 = (V; E1) äâà èçîìîðôíûõ ãðàôà,
Àëèñà çíàåò èçîìîðôèçì . G0 = G1.

Îäèí ðàóíä (âñåãî m):

1) Àëèñà âûáèðàåò ñëó÷àéíóþ ïåðåñòàíîâêó íà ìíîæåñòâå V,
ïîñûëàåò Áîáó ãðàô G1.

2) Áîá âûáèðàåò ñëó÷àéíûé áèò è ïîñûëàåò åãî Àëèñå.

3) Åñëè = 1, Àëèñà îòïðàâëÿåò Áîáó = , èíà÷å = .

3) Åñëè = 1, Àëèñà îòïðàâëÿåò Áîáó = , èíà÷å = .
4) Åñëè G íå èçîìîðôåí G1, Áîá îòâåðãàåò äîêàçàòåëüñòâî,
èíà÷å ó÷àñòíèêè ïåðåõîäÿò ê ñëåäóþùåìó ýòàïó.

Ïîëíîòà:

Ïîëíîòà:
Åñëè = 1, òî G1; G1.
Åñëè = 0, òî ( )G0; G1.

Ïîëíîòà:
Åñëè = 0, òî ( )G0; G1.

Ïîëíîòà:
Åñëè = 0, òî ( )G0; G1.
Åñëè Àëèñà íå çíàåò , òî ñìîæåò îòâåòèòü ïðàâèëüíî òîëüêî
íà îäèí èç äâóõ çàïðîñîâ Áîáà.

Ýëåêòðîííûå äåíüãè

Òðè ó÷àñòíèêà: êëèåíò, ïðîäàâåö, áàíê.

Ïåðâûé ïîäõîä.

Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)):

Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó.

Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (m; s md (mod N)):

Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se m (mod N):

Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m; s):

Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m; s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,
ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.

Êàê ïî áàíêíîòàì (m1; s1); (m2; s2) èçãîòîâèòü òðåòüþ?

Êàê ïî áàíêíîòàì (m1; s1); (m2; s2) èçãîòîâèòü òðåòüþ?
Îòâåò: (m1m2; s1s2):

Âòîðîé ïîäõîä.

Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)), îäíîñòîðîííþþ
ôóíêöèþ f : ZN ! ZN.

Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó f (m).

Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m); s f (m)d (mod N)):

Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se f (m) (mod N):

Òðåòèé ïîäõîä.

Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíûå ÷èñëà m; r è îòïðàâëÿåò áàíêó
f (m)r e .

f (m)r e .
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m)r e ; s0 f (m)d r (mod N)):

f (m)r e .
Êëèåíò âîññòàíàâëèâàåò s = s0=r è ïðîâåðÿåò ïîäïèñü:
se f (m) (mod N):

f (m)r e .
se f (m) (mod N):

Ðàçäåëåíèå ñåêðåòà.

Ãëàâíîêîìàíäóþùèé õî÷åò ðàçîñëàòü ïëàí áèòâû n ãåíåðàëàì,
÷òîáû ãåíåðàëû íå ìîãëè ðàíüøå âðåìåíè åãî ïîñìîòðåòü.

Âñå âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ïî èçâåñòíîìó ïðîñòîìó ìîäóëþ p.
Ïóñòü ñåêðåòîì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî a0. Âûáåðåì ñëó÷àéíî
a1; : : : ; an1 è x1; : : : ; xn1:
Ïóñòü f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:

a1; : : : ; an1 è x1; : : : ; xn1:
Ïóñòü f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:
i-ìó ãåíåðàëó îòïðàâèì xi ; f (xi ).

a1; : : : ; an1 è x1; : : : ; xn1:
Ïóñòü f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:
Â íóæíûé ìîìåíò ãåíåðàëû îáìåíèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé
ñâîèìè ÷àñòÿìè ñåêðåòà, íàõîäÿò f è a0 = f (0).

a1; : : : ; an1 è x1; : : : ; xn1:
Ïóñòü f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:
Èíòåðïîëÿöèîííàÿ òåîðåìà Ëàãðàíæà: åñëè èçâåñòíû çíà÷åíèÿ
ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè íå áîëåå n 1 â n òî÷êàõ, òî ìîæíî
âîññòàíîâèòü ýòîò ìíîãî÷ëåí.
f (x) =
Xn
i=1
f (xi )
Y
j6=i
x xj
xi xj
:

a1; : : : ; an1 è x1; : : : ; xn1:
Ïóñòü f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:
Èíòåðïîëÿöèîííàÿ òåîðåìà Ëàãðàíæà: åñëè èçâåñòíû çíà÷åíèÿ
ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè íå áîëåå n 1 â n òî÷êàõ, òî ìîæíî
âîññòàíîâèòü ýòîò ìíîãî÷ëåí.
f (x) =
Xn
i=1
f (xi )
Y
j6=i
x xj
xi xj
:
Åñëè k n ãåíåðàëîâ ïîïûòàþòñÿ âîññòàíîâèòü ñåêðåò, ó íèõ
íè÷åãî íå ïîëó÷èòñÿ.

Ñõåìà Øàìèðà. Çàùèòà îò íå÷åñòíûõ ó÷àñòíèêîâ.

Åñëè êòî-òî èç ãåíåðàëîâ ïðèøëåò íåâåðíûå äàííûå, âñå
âîññòàíîâÿò îäíî è òî æå íåâåðíîå çíà÷åíèå.

Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî. Ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ p
íàçûâàåòñÿ òàêîé îñòàòîê g, ÷òî
fg0 (mod p); g1 (mod p); : : : ; gp2 (mod p)g = f1; 2; : : : ; p1g:

1) Âûáåðåì ìíîãî÷ëåí f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:

2) Âû÷èñëèì ri gai (mod p), ïóáëèêóåì èõ.

3) Âû÷èñëèì si = f (i ) (mod p); îòïðàâèì si i-ìó ó÷àñòíèêó.

Ïðîâåðêà ãåíåðàëîì ñâîåé äîëè ñåêðåòà:
gsi r0ri1
: : : r in1
n1 (mod p):

Ïðîâåðêà ãåíåðàëîì ñâîåé äîëè ñåêðåòà:
gsi r0ri1
: : : r in1
n1 (mod p):
Âîññòàíîâëåíèå ñåêðåòà (â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
ãëàâíîêîìàíäóþùèé ÷åñòíûé). Âñå ãåíåðàëû îáìåíèâàþòñÿ
ìåæäó ñîáîé ÷àñòÿìè ñåêðåòà è ïðîâåðÿþò èõ òàê, êàê îïèñàíî
âûøå.

Дмитрий Васильев - Задачи ассиметричной криптографии

More Related Content

Дмитрий Васильев - Задачи ассиметричной криптографии