Przejdź do zawartości

Hipoteza continuum

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Hipoteza continuum (CH, ang. continuum hypothesis) – hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych. Mówi ona, że nie ma pomiędzy nimi żadnej wielkości pośredniej. Innymi słowy, continuum to najmniejsza liczba nieprzeliczalna, co można zapisać symbolicznie:

Hipotezę tę sformułował w XIX wieku Georg Cantor; znalazła się ona wśród problemów Hilberta, jako pierwsza na liście. W XX wieku udowodniono, że problem ten jest nierozstrzygalny dla standardowej teorii mnogości, tj. niezależny od aksjomatów Zermela-Fraenkla[1].

Historia problemu

[edytuj | edytuj kod]

Hipoteza ta została postawiona w roku 1878 przez Georga Cantora. Posługując się rozumowaniem przekątniowym, Cantor wykazał, że moc zbioru liczb naturalnych jest mniejsza niż moc zbioru liczb rzeczywistych, czyli:

W jego dalszych rozważaniach pojawiło się następujące, naturalne pytanie: „czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych, a zarazem mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych?”, jednakże odpowiedź na nie okazała się być dalece nieoczywista. Cantor wysunął hipotezę – zwaną właśnie hipotezą continuum – że takiego zbioru nie ma[2]. Nie potrafił jej jednak udowodnić, co sprawiło, że zwątpił w sensowność stworzonej przez siebie teorii mnogości.

W 1940 roku ukazała się praca Kurta Gödla, w której autor dowiódł, że hipoteza continuum jest niesprzeczna z aksjomatami ogólnie przyjętej teorii mnogości Zermela-Fraenkla. W 1963 roku Paul Cohen udowodnił niezależność hipotezy continuum od wspomnianych aksjomatów, co oznacza, że nie popadając w sprzeczność, można do nich dołączyć zarówno zdanie stwierdzające prawdziwość hipotezy, jak i jego zaprzeczenie.

Uogólnienie

[edytuj | edytuj kod]

Uogólniona hipoteza continuum (GCH, ang. generalized continuum hypothesis) to zdanie mówiące, że dla żadnego zbioru nieskończonego nie istnieje zbiór którego moc byłaby większa od mocy zbioru ale mniejsza od mocy zbioru potęgowego Uogólniona hipoteza continuum pociąga aksjomat wyboru. Jednym z jej następstw jest następujące twierdzenie Jesienina-Wolpina:

Przy założeniu GCH dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej istnieje zwarta przestrzeń Hausdorffa ciężaru o tej własności, że każda przestrzeń Banacha ciężaru jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią liniową przestrzeni tj. przestrzeni Banacha funkcji ciągłych na z normą supremum[3].

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Guzicki 1993 ↓, s. 66.
  2. hipoteza continuum, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02].
  3. A.C. Yesenin-Volpin, On the existence of a universal bicompact of arbitrary weight, „Dokl. Akad. Nauk USSR” 68 (1949), s. 649–652.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]