Naar inhoud springen

Variantieanalyse

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Variantieanalyse, een begrip uit de statistiek, vaak aangeduid als ANOVA (van het Engelse Analysis of variance), is een toetsingsprocedure om na te gaan of de populatiegemiddelden van meer dan 2 groepen van elkaar verschillen. Het is in die zin een generalisatie van de t-toets voor twee steekproeven. De term variantieanalyse verwijst naar de uiteenlegging (analyse) van de totale variantie van de gemeten grootheid in twee delen, de variantie binnen de groepen (binnenvariantie) en de variantie tussen de groepen (tussenvariantie) die met elkaar vergeleken worden. De analysetechniek is bedacht door de Britse statisticus en geneticus Ronald Aylmer Fisher in de jaren 1920 - 1930.

Een eenvoudig voorbeeld, met drie groepen, zal de gedachtegang verduidelijken.

De vraag is of er tussen drie verschillende groepen wat de lichaamslengte van de personen uit die groepen betreft, systematische verschillen zijn, of dat eventuele verschillen zuiver op toeval berusten. Om dat te onderzoeken worden Friezen, Hollanders en Limburgers met elkaar vergeleken. Is de lichaamslengte in deze groepen gemiddeld genomen dezelfde, of zijn er systematische verschillen? Duidelijk is dat binnen elke groep al verschillen in lengte zijn. Niet alle Hollanders zijn even lang en ook niet alle Friezen en Limburgers. De vraag is of er ook tussen de groepen verschillen zijn. Of bijvoorbeeld de gemiddelde lengte van Friezen anders is dan de gemiddelde lengte van Limburgers. Of de verschillende groepen een bron van variatie zijn. Natuurlijk zullen de gemiddelden van de drie groepen niet precies aan elkaar gelijk zijn. Het gaat erom of deze verschillen tussen de groepen vergelijkbaar zijn met, of veel groter zijn dan de verschillen binnen de groepen. Daartoe worden steekproeven genomen en de totale "variantie", die een maat is voor de variatie, uiteengelegd, geanalyseerd, in twee componenten, de variantie binnen de groepen en de variantie tussen de groepen. Door vergelijken van deze twee componenten kan beslist worden of de groepsgemiddelden als verschillend beschouwd mogen worden of niet.

Het bovenstaande is een voorbeeld van een eenweg-variantieanalyse. Er is sprake van één factor (afkomst), en drie niveaus (de drie groepen, Friezen, Hollanders en Limburgers). Er wordt gekeken naar of de gemiddelde waarden voor de variabele (in dit geval lengte) significant meer verschillen tussen de individuele niveaus van de factor dan dat ze verschillen binnen de individuele niveaus.

Als model wordt aangenomen dat de lichaamslengte in elk van de groepen een normale verdeling heeft, met verwachtingswaarden respectievelijk en en voor elke groep dezelfde variantie .

Het is gebruikelijk om het gemiddelde niveau van de groepen met aan te duiden en de afwijkingen daarvan met dus:

,

zodat:

De systematische verschillen komen dan tot uiting in de 's.

Uit de groepen worden (onafhankelijke, aselecte) steekproeven genomen, voor het gemak alle van dezelfde omvang :

Voor een zo'n element kan men schrijven:

Zo is de lengte van de eerste gemeten Fries:

,

dus de som van het algemeen gemiddelde , de afwijking daarvan voor Friezen in het algemeen, en een persoonlijke bijdrage . De persoonlijke bijdragen (storingstermen) () zijn onderling onafhankelijk en alle -verdeeld.

Als voorbeeld worden de volgende eenvoudige, fictieve getallen als uitkomst van de steekproef genomen:

Friezen: 171,181,191
Hollanders: 169,179,189
Limburgers: 161,171,181

De totale kwadratensom van afwijkingen t.o.v. het algemeen gemiddelde (het is gebruikelijk om gemiddelden aan te geven door de index waarover gemiddeld is, te vervangen door een stip) kan als volgt uiteengelegd worden:

In de steekproef is , zodat

De eerste component,

,

beschrijft de resterende variatie binnen de groepen als gevolg van de afwijkingen binnen elke groep ten opzichte van het groepsgemiddelde.

De tweede component,

,

beschrijft de variatie tussen de groepen als gevolg van de afwijkingen van de groepsgemiddelden ten opzichte van het algemeen gemiddelde.

In de steekproef is:

en ,

zodat

en

Onder de nulhypothese van geen verschillen geldt voor de verdelingen:

is chi-kwadraatverdeeld met vrijheidsgraden, en

is chi-kwadraatverdeeld met vrijheidsgraden.

Onder de gemiddelde kwadratensom verstaat men de kwadratensom gedeeld door de bijbehorende vrijheidsgraden:

en

In de steekproef: en .

Als toetsingsgrootheid neemt men het quotiënt van deze gemiddelde kwadratensommen:

Als de nulhypothese waar is, heeft een F-verdeling met vrijheidsgraden in de teller en in de noemer. Merk op dat de onbekende parameter bij het delen is weggevallen. Is de nulhypothese niet waar, dan kan men vrij eenvoudig inzien dat statistisch grotere waarden zal aannemen. De nulhypothese wordt dus verworpen voor grote waarden van .

In het voorbeeld is dus: . Aangezien , is de overschrijdingskans ; dus is er geen reden om de nulhypothese te verwerpen.

De resultaten van de berekeningen worden meestal weergegeven in een variantieanalysetabel:

factor vrijheidsgraden kwadr.som gem.kwadr.som p-waarde

groep 2 168 84 0,84 > 0,5
error 6 600 100

totaal 8 768

Dat de steekproef niet significant is, hadden we vrij direct kunnen zien, aangezien binnen de groepen afwijkingen van 10 tov. het groepsgemiddelde voorkomen en de verschillen tussen de groepsgemiddelden niet groter dan 10 zijn.

Als de variatie binnen de groepen als volgt verkleind wordt:

Friezen: 180,181,182
Hollanders: 178,179,180
Limburgers: 170,171,172

blijven de groepsgemiddelden gelijk, en dus is weer:

Maar nu is:

en

De verschillen tussen de groepen zijn nu veel groter dan binnen de groepen.

De variantieanalysetabel wordt nu:

factor vrijheidsgraden kwadr.som gem.kwadr.som p-waarde

groep 2 168 84 84 ≈ 0
error 6 6 1

totaal 8 174

Er is dus alle reden om aan te nemen dat de groepsgemiddelden onderling verschillen.

Meerweg-variantieanalyse

[bewerken | brontekst bewerken]

Een soortgelijke analyse kan ook gedaan worden met meer factoren. Men spreekt dan van meerweg-variantieanalyse, of naar het aantal beschouwde factoren van bijvoorbeeld drieweg-, vierweg-variantieanalyse. Een complicatie daarbij is dat de factoren elkaar kunnen beïnvloeden, wat aangeduid wordt als interactie. Ook worden met toenemend aantal factoren de formules ingewikkelder en minder overzichtelijk. Een belangrijk praktisch nadeel van veel factoren is de noodzakelijk grote steekproefomvang voor een betrouwbare analyse.

Als voorbeeld een tweeweg-variantieanalyse.

In een onderzoek naar de opbrengst van tarwesoorten in relatie met de bodemgesteldheid, worden 4 soorten tarwe vergeleken elk groeiend op 3 grondsoorten. Er zijn dus twee factoren: soort op 4 niveaus en grond op 3 niveaus. De opbrengst van een tarwe-aar wordt gemodelleerd als:

Daarin is:

de opbrengst van aar nummer van soort op grond
de verwachte opbrengst gemiddeld over alle soorten en gronden
de bijdrage aan de opbrengst van soort
de bijdrage aan de opbrengst van grond
de eigen specifieke bijdrage van aar van soort op grond ; onderling onafhankelijk en verdeeld verondersteld.

De term

de zogenaamde interactieterm behoeft nog wat nadere verklaring. Niet altijd neemt men deze op in het model. Als er reden is om aan te nemen dat een bepaalde soort tarwe het beter doet op de ene grondsoort en een andere soort weer beter groeit op een andere grondsoort, is er sprake van interactie tussen de tarwesoort en de grondsoort. Om het effect daarvan in het model te beschrijven, neemt men de bovengenoemde interactieterm op. Het is gebruikelijk deze weer te geven met de symbolen van de interagerende factoren, hier dus en (dus niet te lezen als het product van beide!)

De analyse van de variantie houdt nu in dat de totale kwadratensom als volgt uiteengelegd wordt (ook hier wordt weer door een · aangegeven dat over de betrokken index gemiddeld is):

,

waarin:

de totale kwadratensom is
de kwadratensom van de residuen
de kwadratensom van de interactie
de kwadratensom van de factor A, "soort"
de kwadratensom van de factor B, "grond".

Het kan worden bewezen dat de vier verschillende kwadraatsommen waaruit de totale kwadratensom bestaat, onderling onafhankelijk zijn. Elk van de kwadratensommen is, gedeeld door de variantie van de storingsterm, onder de veronderstelling dat het betreffende effect niet bestaat, -kwadraatverdeeld, en wel: