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Agrimensura. Levantamientos con cinta

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JOSE ESPEJO VASQUEZ
JOSE ESPEJO VASQUEZ

Este documento presenta diferentes métodos para resolver problemas topográficos en el campo utilizando únicamente una cinta, incluyendo el levantamiento de perpendiculares, paralelas y la medición de distancias entre puntos inaccesibles. También explica cómo medir ángulos y áreas de polígonos utilizando la ley de cosenos y senos.

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Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 9 d a a d 2.1. PROBLEMAS DE CAMPO QUE SE RESUELVEN CON CINTA, EXCLUSIVAMENTE. 2.1.2. PERPENDICULARES. El levantamiento y/o trazo de perpendiculares con cinta, se puede realizar a través de diferentes procedimientos como los que a continuación se describen. LEVANTAMIENTO DE PERPENDICULARES. 1) MÉTODO DEL 3, 4, 5. Utilizando el Teorema de Pitágoras se forma un triángulo con la longitud de cinta necesaria; apoyando uno de los catetos en el terreno sobre la línea de referencia se ubica el punto por donde sube la perpendicular en la intersección de la hipotenusa y el otro cateto. Para esto se necesitan tres personas. 2) MÉTODO DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES. Para este método se requiere fijar dos puntos auxiliares equidistante (a) al punto donde se pretende levantar la perpendicular, después con la ayuda de tres personas, se toma la longitud de cinta necesaria y se divide en dos partes iguales (d). Apoyando los extremos de la cinta en las dos marcas auxiliares equidistantes se estira la cinta y la perpendicular sube por el punto medio. 3) MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN DE TRIÁNGULOS. Este método es sumamente útil cuando se tiene algún obstáculo que no permita trazar con facilidad la perpendicular. Primeramente se forma un triángulo isósceles “ABC” cuyos lados iguales sean de una distancia “d” y la suma sea lo más cercano a lo longitud total de cinta. La base del triángulo se apoya en la línea de referencia y se coloca una baliza en el punto “B”. cuando la cinta esté bien estirada la persona ubicada en “C”, se mueve hacia “arriba de la línea” hasta un punto “D” y alinearse perfectamente con el balicero localizado en “B”. La perpendicular se levanta del punto “C”, hasta el punto “D”. UNIDAD TEMÁTICA 2. USO DE LA CINTA EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS TOPOGRÁFICOS 5K 3K 90° 4K K5c K25c K16K9c )K4()K3(c 22 222 222    
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 10 COMPROBACIÓN DE LA PERPENDICULAR TRAZO DE PERPENDICULARES. 1) MÉTODO DE LA DISTANCIA MÁS CORTA. 2) MÉTODO DE BISECCIÓN DE LA CUERDA. B d d A 90° d C D Perpendicular Punto móvil ç ç 90°-ç 2ç 180°-2çd d d Distancia más corta Cero de la cinta A (punto dado)    90 90180 190   
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 11 B' d/2 A' A d/2 d/2 B d/2 d B' A' A d 90° B 90° A B Q 90° 90° P 90.30 125.50 152.10 224.00 217.60 ++ A B C D 3) MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN DE TRIÁNGULOS ISÓSCELES. 2.1.2. LEVANTAMIENTO Y/O TRAZOS DE PARALELAS . Existen problemas de campo que se resuelven con paralelas. Se pueden trazar paralelas a otra línea de dos formas diferentes, a saber: a). Tomando como referencia la línea base se levantan perpendiculares equidistantes en dos puntos auxiliares A y B. La paralela será aquella que una los puntos A’ y B’ de las perpendiculares. b) II ) MEDICIÓN DE LAS DISTANCIAS DE DOS PUNTOS INACCESIBLES PERO VISIBLES . II ) OBTENCIÓN DE LA DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS INACCESIBLES E INDIVISIBLES ENTRE SÍ, PERO VISIBLE DESDE PUNTOS EXTERNOS . d d A C B Punto móvil Perpendicular D d BQ* PQ BP BA BA PQ BA BP BTANATAN B.ANGA.ANG BQ* PQ BP AB     
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 12 b=156.70 b = 307.12 A a= 312.30 C2 c2 B d = 307.92 d = 312.30 C1 c1=226.50 D B a=156.70 C D A c A c = 450.30 B a C b c² = a² + b² 2 a.b.Cos C Cos C = a² + b² - c² 2ab Cos C1 = b² + d² - c1² 2bd Cos C1 = (156.70)² + (312.30)² - (226.50)² 2 (156.70) (312.30) Cos C1 = 0.7232 C1 = 43.67° Cos C2 = a² + b² - c2² 2ab Cos C2 = (312.30)² + (307.92)² - c2² 2 (312.30) (307.92) Cos C2 = 192346.0164 - c2² 192326.832 C = C1 + C2 C2 = C – C1 C2 = 149.79° - 43.67° C2 = 106.11° C2² = 192346.0164 + (Cos C2) (192326.832) c2² = 295730.921 c2 = 495.71 m = AB Cos C = a² + d² - c² 2ad Cos C = (156.70)² + (307.92)² - (450.30)² 2 (156.70) (307.92) Cos C = - 0.8642 C = 149.79°
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 13 Cos D = c² + b² - d² 2cb Cos D = (226.50)² + (156.70)² - (312.30)² 2 (226.50) (156.70) Cos D = - 0.6053 D = 107.77° d1 = 307.92 b = 450.30 A B D2 d2 a=226.50a = 156.70 D1C b = 156.70 d = 312.30 A C c = 450.30 c = 226.50 D B Cos D1 = a² + c² - d1² 2ac Cos D1 = (156.70)² + (450.30)² - (307.92)² 2 (156.70) (450.30) Cos D1 = 0.9389 D1 = 20.12° D = D1 +D2 D2 = D – D1 D2 = 107.77° - 20.12° D2 = 87.65° Cos D2 = a² + b² - d2² 2ab Cos D2 = (226.50)² + (450.30)² - d2² 2 (226.50) (450.30) Cos D2 = 254072.34 – d2² 203985.9 d2 = 254072.34 - 203985.9 Cos(87.65°) d2 = 245730.921 d2 = 495.71 m = AB
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 14 Se miden lados y diagonales. LEY DE COSENOS: Cos A = b² + c² - a² 2bc Cos B = a² + c² - b² 2ac Cos C = a² + b² - c² 2ab Conocido el ángulo A tenemos: Sen A = h1 / c h1 = c.Sen A Sen A = h2 / b h2 = b.Sen A Conocido el ángulo B tenemos: Sen B = h2 / a h2 = a.Sen B Sen B = h3 / c h3 = c.Sen B Conocido el ángulo C tenemos: Sen C = h1 / a h1 = a.Sen C Sen C = h3 / b h3 = b.Sen C B h1 b A C h3 c h2 a b A c C a B III I II ALINEAMIENTO ENTRE 2 PUNTOS INDIVISIBLES ENTRE SÍ, PERO VISIBLES DESDE 2 PUNTOS INTERMEDIOS . ALINEAMIENTO ENTRE 2 PUNTOS LEJANOS E INDIVISIBLES ENTRE SÍ . 3.1 MÉTODOS DE LEVANTAMIENTO CINTA EXCLUSIVAMENTE . Poligonal: 3.2.1. POR TRIANGULACIÓN . Polígono Cerrado
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 15 180° - ø Q P ø Sen (180° - ø) = Sen ø 2 PQ Sen (180° - ø) / 2 = Sen (180° - ø) Área = PQ Sen ø || P X Q || = PQ Sen ø a = 209.72 b = 263.35 C A c = 291.50 B Área = (Producto de 2 lados) X (Seno del ángulo que forman) 2 Área = Base X Altura 2 Área = b.h1 = b.c.Sen A = a.b.Sen C 2 2 2 Área = c.h2 = a.b.Sen A = a.b.Sen B 2 2 2 Área = a.h1 = a.c.Sen B = a.b.Sen C 2 2 2 b.c.Sen A = a.b.Sen C = a.c.Sen B 2 2 2 c Sen A = a Sen C Sen A = Sen C a c b Sen C = c Sen B Sen B = Sen C b c Sen A = Sen B = Sen C c b c EJEMPLO: Calcular los ángulos interiores y el área del triángulo con la Ley de los Cosenos. Poligonal 1: Cos A = (263.35)² + (291.50)² - (209.72)² = 0.71869 2 (263.35) (291.50) A = 44.054° Cos B = (291.50)² + (209.72)² - (263.35)² = 0.48747 2 (291.50) (209.72) B = 60.826° Cos C = (209.72)² + (291.50)² - (263.35)² = 0.25678 2 (209.72) (291.50) C = 75.121° Area = (263.35) (209.72) Sen C 2 = 26 688.96 Area = 26 689 u²
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 16 c = 550.65 B1 a = 435.70 A1 b = 510.30 I C1 576.86 550.65 488.32 F A IV C 510.30 B I 435.70 III E 600.78 479.85 II 266.57 D 372.41 Poligonal 2: I ) Cos A1 = (550.65)² + (510.30)² - (435.70)² = 0.66511 A1 = 48.309° 2 (550.65) (510.30) Cos B1 = (550.65)² + (435.70)² - (510.30)² = 0.48484 B1 = 60.998° 2 (550.65) (435.70) Cos C1 = (435.70)² + (510.30)² - (550.65)² = 0.33063 C1 = 70.693° 2 (435.70) (510.30) Area = (435.70) (510.30) Sen C1 = 104 916.7 Area = 104 917 u² 2 II ) Cos C2 = (510.30)² + (266.57)² - (479.85)² = 0.37201 C2 = 68.160° 2 (510.30) (266.57) Cos A2 = (510.30)² + ( 479.85)² - (266.57)² 2 (510.30) (479.85) = 0.85680 A2 = 31.041°
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 17 Cos D2 = (266.57)² + (479.85)² - (510.30)² = 0.15991 D2 = 80.798° 2 (266.57) (479.85) Area = (510.30) (266.57) Sen C2 = 63 133.6 Area = 63 134 u² 2 III) Cos D3 = (479.85)² + (372.41)² - (600.78)² = 0.02241 D3 = 88.716° 2 (479.85) (372.41) Cos E3 = (600.78)² + (372.41)² - (479.85)² = 0.60198 E3 = 52.988° 2 (600.78) (372.41) Area = (479.85) (372.41) Sen D3 Area = 89 328 u² 2 IV ) Cos E4 = (600.78)² + (576.86)² - (488.32)² = 0.656797 E4 = 48.944° 2 (600.78) (576.86) Cos F4 = (488.32)² + (576.86)² - (600.78)² = 0.37326 F4 = 68.083° 2 (488.32) (576.86) Area = (600.78) (576.86) Sen E4 Area = 130 667 u² 2 600.78 A3 372.41 479.85 III D3 E3 Cos A3 = (479.85)² + (600.78)² - (372.41)² 2 (479.85) (600.78) = 0.78482 A3 = 38.296° IV 488.32 A4 F4 576.86 600.78 E4 Cos A4 = (600.78)² + (488.32)² - (376.86)² 2 (600.78) (488.32) = 0.45441 A4 = 62.973°
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 18 B 60°59'19" 138°51'10" C 101°55'35" F 68°04'59" A 180°38'08" 169°30'50" E D Suma de ángulos interiores: A = 48.309° + 31.041° + 38.296° + 62.993° = 180.619° B = 60.998° C = 70.693° + 68.160° = 138.853° D = 80.798° + 88.716° = 169.514° E = 52.988° + 48.944° = 101.932° F = 68.083° Suma = 719.999° Suma de ángulos teórica: 180° (n – 2) = 180° (6 – 2) = 720° Suma de áreas: Área1 = 104 917 Área2 = 63 134 Área3 = 89 328 Área4 = 130 667 Suma = 388 046 u² Área Total = 38 - 80 - 46 Ha. Dibujo de la poligonal
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 19 576.86 550.65 488.32 F A IV C 510.30 B I 435.70 III E 600.78 479.85 II 266.57 D 372.41 FÓRMULA DEL SEMIÁNGULO EJEMPLO: Encontrar los ángulos internos y el área del polígono con la fórmula del semiperímetro. I ) s = 435.70 + 510.30 + 550.65 2 s = 748.325 m SenAl /2=((748.325–550.65)(748.325 – 510.30) / (550.65)(510.30))1/2 A1 = 48.309° SenBl /2=((748.325–435.70)(748.325 – 550.65) / (550.65)(550.65))1/2 B1 = 60.998° SenCl /2=((748.325–435.70)(748.325 – 510.30) / (437.70)(510.30))1/2 C1 = 70.693° Área=(748.325(748.325-510.30)(748.325-435.70)(748.325- 550.65))1/2 =104916.5u2 Área = 104 917 m² s = a + b + c 2 s = Semiperímetro ab )cs)(bs( 2 A Sen   ac )cs)(as( 2 B Sen   ab )bs)(as( 2 C Sen   c)-b)(s-a)(s-s(sÁrea 
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 20 II ) s = 266.57 + 479.85 + 510.30 2 s = 628.360 m SenAl /2=((628.360–479.85)(628.360 – 510.30) / (479.85)(510.30))1/2 = 0.26759 A2 = 31.041° SenC2 /2=((628.360–266.57)(628.360–510.30) / (266.57)(510.30))1/2 = 0.56035 C2 = 68.160° SenD2 /2=((628.360–266.57)(628.360–479.85) / (266.57)(479.85))1/2 = 0.64811 D2 = 80.798° Área=(628.36(628.36 - 266.57)(628.36 - 479.85)(628.36-510.30))1/2 = 63133.8m2 Área = 63 134 m² III ) s = 372.41 + 600.78 + 479.85 2 s = 726.520 m SenA3 /2 =((726.52 - 600.78)(726.52 - 479.85) / (600.78)(479.85))1/2 = 0.320801 A3 = 38.296° SenD3 /2 =((726.52 – 372.41)(726.52 - 479.85) / (372.41)(479.85))1/2 = 0.69914 D3 = 88.716° SenE3 /2 =((726.52 – 372.41)(726.52 – 600.78) / (372.41)(600.78))1/2 = 0.44611 E3 = 52.988° 890)78.600520.726)(85.479520.726)(41.372520.726(520.726Área 
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 21 a (Lado de Liga) A A k k Cos A = k² + k ² - a² = 2k² - a² 2 (k) (k) 2k² = 2k² - a² 2k² 2k² Cos A = 1 - a² 2k² Sen (A/2) = a / 2 K = a 2k Área = 89 075 m² IV ) s = 576.86 + 488.32 + 600.78 2 s = 832.98 m SenA4 /2 =((832.98-488.32)(832.98-600.78) / (488.32)(600.78))1/2 = 0.52230 A4 = 62.973° SenE4 /2 =((832.98-576.86)(832.98-600.78) / (576.86)(600.78))1/2 = 0.41425 E4 = 48.944° SenF4 /2 =((832.98-576.86)(832.98-488.32) / (576.86)(488.32))1/2 = 0.55980 F4 = 68.084° Área=(832.98(832.98-576.86)(832.98-488.32)(832.98-600.78))1/2 = 130666.8m2 Área = 130 667 m² 3.2.2. MÉTODO DEL LADO DE LIGA . Se recomienda para levantamientos preliminares. Donde a y k son conocidos.
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 22 D C3 E3 9.20 m E E1 E2 C C2 B B2 B1 A1 11.50 m k = 20 m A EJEMPLO: Se pretende levantar un terreno de 5 lados y el arroyo crecido no permite medir las distancias AE y AB; pero ayudándose de las prolongaciones de las líneas se midieron los lados de liga en los vértices E y B. Calcule los datos faltantes y el área del terreno. Sugerencia: considere la suma de los ángulos interiores del triángulo AEB forzada a 180° para obtener el ángulo A. EST. P.V. DISTANCIA ANG. INTERIOR A B 119° 59’ 24” B C 345.60 81° 32’ 53” C D 175.50 133° 51’ 21” D E 263.60 90° 00’ 00” E A 114° 36’ 00” B E 415.20 E C 316.68 Sen B1 /2= (11.50)/(2(20)) = 0.2875 B1 = 33.42° Sen E1 /2= (9.2)/(2(20)) = 0.23 E1 = 26.59° A1 + B1 + C1 = 180° A1 = 180° - 33.42° - 26.59° A1 = 119.99° Aplicamos la Ley de los Senos: Sen 119.99° = Sen 33.42° = Sen 26.59° 415.20 AE AB AE = (415.20) Sen 33.42° AB = (415.20) Sen 26.59° Sen 119.99° Sen 119.99° AE = 264.01 m AB = 214.60 m A1 E E1 415.20 264.01 B1 B 214.60 A Área = (264.1) (214.60) Sen 119.99° 2 Área = 24 535 m²
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 23 D 175.50 C3 C 263.60 d E3 E )²50.175(²(263.60)d e²c²²d   d = 316.68 m 316.68 345.60 C C2 415.20 E2 E B2 B Cos E3 = (263.60)² + (316.68)² - (175.50)² = 0.83239 E3 2 (263.60) (316.68) E3 = Tan-1 (175.50/263.60) = 33.655° E3 = 33.655° Cos D3=(263.60)² + (175.50)² - (316.68)² = 1.0942X10-5 2 (263.60) (175.50) D3 = 90.000° Cos C3 = (175.50)² + (316.68)² - (263.60)² = 0.55420 2 (175.50) (316.68) C3 = Tan-1 (263.6/175.50) = 56.345° C3 = 56.344° Area = (175.50) (263.60) Sen D3 = 23 130.9 Area = 23 131 m² 2 Cos E2 = (316.68)² + (415.20)² - (345.60)² = 0.58272 E2 2 (316.68) (415.20) E2 = 54.358° Area = (415.20) (345.60) Sen B2 = 53 427.4 2 Area = 53 427 m² Cos B2 = (415.20)² + (345.60)² - (316.68)² 2 (415.20) (345.60) = 0.66743 B2 = 48.131° Cos C2 = (316.68)² + (345.60)² - (415.20)² 2 (316.68) (345.60) = 0.21625 C2 = 77.511°
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 24 b'2 Bb c 3 C f Aa E D d F f a1 f d' 4 Ángulos: A = 119.99° B = 33.417° + 48.131° = 81.548° C = 77.511° + 45.345° = 133.856° D = 90° E = 26.59° + 54.358° + 33.655° = 114.60° Suma = 539.994° 180° (n – 2) = 180° (5 – 2) = 540° Área: A1 = 24 535 m² A2 = 53 427 m² A1 = 23 131 m² AT = 101 093 m² 3.2.3. MÉTODO DE RADIACIONES . 3.2.4. MÉTODO DE PROLONGACIÓN DE ALINEAMIENTOS . 3.3. LEVANTAMIENTO DE DETALLES DE REFERENCIACIÓN .
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 25 A Cadenamiento @30 m, (excepto r = 25 m) A7 r A8 y 6 7 y Ay 73.50 m 5 6 3 A A A 5 4 2 A 1 Ø Ø = 24.37° 2 y 3 y 4 y A0 0 y 1 y A LEVANTAMIENTO DE ÁREAS IRREGULARES . A0 = (yo + y1) d A3 = (y3 + y4) d 2 2 A1 = (y1 + y2) d An-2 = (yn-2 + yn-1) d 2 2 A2 = (y2 + y3) d An-1 = (yn-1 + yn) r 2 2 suma A = A0 + A1 + A2 + A3 + ... + An-2 + An-1 2 AT = (y0 + y1 + y1 + y2 + y2 + y3 + y3 + y4 + ... + yn-2 + yn-1) d + (yn-1 + y0) r r)yy(d)yy(y2A2 n1n1n0 2n 1i iT      2 r )yy( 2 d )yy(yA n1n1n0 2n 1i iT      2 AT = (y1 + y1 + y2 + y2 + y3 + y3 + ... + yn-1 + yn-1 + yn + yn) d 2 AT = 2 d (y1 + y2 + y3 + ... + yn-1 + yn) d AT = d (y1 + y2 + y3 + ... + yn-1 + yn) d    n 1i iT ydA EJEMPLO:
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 26 la cinta Cero de b A c Línea de referencia a Línea que pretende trazarse A0 = (70.00) (73.50) Sen (24.37°) = 1061.4 m² A0 2 = 1061 m² A1 = (y1 + y2) d = (70.00 + 65.30) (30.00) = 2029.5 m² 2 2 A1 = 2030 m² A2 = (y2 + y3) d = (65.30 + 59.90) (30.00) = 1878 m² 2 2 A2 = 1878 m² A3 = (y3 + y4) d = (59.90 + 56.20) (30.00) = 1741.5 m² 2 2 A3 = 1742 m² A4 = (y4 + y5) d = (56.20 + 43.80) (30.00) = 1500 m² 2 2 A4 = 1500 m² A5 = (y5 + y6) d = (43.80 + 35.20) (30.00) = 1185 m² 2 2 A5 = 1185 m² A6 = (y7 + y8) d = (35.20 + 26.10) (30.00) = 919.5 m² 2 2 A6 = 920 m² A7 = (y7 + y8) d = (35.20 + 26.10) (30.00) = 919.5 m² 2 2 A7 = 920 m² A8 = (15.00) (25.00) = 187.5 m² 2 A8 = 188 m² Área Total = 11 120 m² TRAZO DE ÁNGULOS CON CINTA . Datos conocidos ángulo A y k (largo de la cinta). a + b + c = k Sen A = a c . Sen A = a c Cos A = b c . Sen A = b
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 27 c c . Sen A + c . Cos A + c = k c = k______ c (Sen A + Cos A + 1) = k Sen A + Cos A + 1 EJEMPLO : y 30.00 m Marca de cero Marca de 8.786 m 45° Marca de 17.573 m A = 45°, k = 30 m c = 30 = 12.4264 m Sen (45°) + Cos (45°) + 1 a = 12.4264 Sen (45°) = 8.786 m b = 12.4264 Cos (45°) = 8.786 m COMPROBACIÓN: a + b + c = k 2(8.7867) + 12.4264 = 30 m a² + b² = c² c = 12.426 m

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  • 1. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 9 d a a d 2.1. PROBLEMAS DE CAMPO QUE SE RESUELVEN CON CINTA, EXCLUSIVAMENTE. 2.1.2. PERPENDICULARES. El levantamiento y/o trazo de perpendiculares con cinta, se puede realizar a través de diferentes procedimientos como los que a continuación se describen. LEVANTAMIENTO DE PERPENDICULARES. 1) MÉTODO DEL 3, 4, 5. Utilizando el Teorema de Pitágoras se forma un triángulo con la longitud de cinta necesaria; apoyando uno de los catetos en el terreno sobre la línea de referencia se ubica el punto por donde sube la perpendicular en la intersección de la hipotenusa y el otro cateto. Para esto se necesitan tres personas. 2) MÉTODO DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES. Para este método se requiere fijar dos puntos auxiliares equidistante (a) al punto donde se pretende levantar la perpendicular, después con la ayuda de tres personas, se toma la longitud de cinta necesaria y se divide en dos partes iguales (d). Apoyando los extremos de la cinta en las dos marcas auxiliares equidistantes se estira la cinta y la perpendicular sube por el punto medio. 3) MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN DE TRIÁNGULOS. Este método es sumamente útil cuando se tiene algún obstáculo que no permita trazar con facilidad la perpendicular. Primeramente se forma un triángulo isósceles “ABC” cuyos lados iguales sean de una distancia “d” y la suma sea lo más cercano a lo longitud total de cinta. La base del triángulo se apoya en la línea de referencia y se coloca una baliza en el punto “B”. cuando la cinta esté bien estirada la persona ubicada en “C”, se mueve hacia “arriba de la línea” hasta un punto “D” y alinearse perfectamente con el balicero localizado en “B”. La perpendicular se levanta del punto “C”, hasta el punto “D”. UNIDAD TEMÁTICA 2. USO DE LA CINTA EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS TOPOGRÁFICOS 5K 3K 90° 4K K5c K25c K16K9c )K4()K3(c 22 222 222    
  • 2. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 10 COMPROBACIÓN DE LA PERPENDICULAR TRAZO DE PERPENDICULARES. 1) MÉTODO DE LA DISTANCIA MÁS CORTA. 2) MÉTODO DE BISECCIÓN DE LA CUERDA. B d d A 90° d C D Perpendicular Punto móvil ç ç 90°-ç 2ç 180°-2çd d d Distancia más corta Cero de la cinta A (punto dado)    90 90180 190   
  • 3. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 11 B' d/2 A' A d/2 d/2 B d/2 d B' A' A d 90° B 90° A B Q 90° 90° P 90.30 125.50 152.10 224.00 217.60 ++ A B C D 3) MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN DE TRIÁNGULOS ISÓSCELES. 2.1.2. LEVANTAMIENTO Y/O TRAZOS DE PARALELAS . Existen problemas de campo que se resuelven con paralelas. Se pueden trazar paralelas a otra línea de dos formas diferentes, a saber: a). Tomando como referencia la línea base se levantan perpendiculares equidistantes en dos puntos auxiliares A y B. La paralela será aquella que una los puntos A’ y B’ de las perpendiculares. b) II ) MEDICIÓN DE LAS DISTANCIAS DE DOS PUNTOS INACCESIBLES PERO VISIBLES . II ) OBTENCIÓN DE LA DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS INACCESIBLES E INDIVISIBLES ENTRE SÍ, PERO VISIBLE DESDE PUNTOS EXTERNOS . d d A C B Punto móvil Perpendicular D d BQ* PQ BP BA BA PQ BA BP BTANATAN B.ANGA.ANG BQ* PQ BP AB     
  • 4. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 12 b=156.70 b = 307.12 A a= 312.30 C2 c2 B d = 307.92 d = 312.30 C1 c1=226.50 D B a=156.70 C D A c A c = 450.30 B a C b c² = a² + b² 2 a.b.Cos C Cos C = a² + b² - c² 2ab Cos C1 = b² + d² - c1² 2bd Cos C1 = (156.70)² + (312.30)² - (226.50)² 2 (156.70) (312.30) Cos C1 = 0.7232 C1 = 43.67° Cos C2 = a² + b² - c2² 2ab Cos C2 = (312.30)² + (307.92)² - c2² 2 (312.30) (307.92) Cos C2 = 192346.0164 - c2² 192326.832 C = C1 + C2 C2 = C – C1 C2 = 149.79° - 43.67° C2 = 106.11° C2² = 192346.0164 + (Cos C2) (192326.832) c2² = 295730.921 c2 = 495.71 m = AB Cos C = a² + d² - c² 2ad Cos C = (156.70)² + (307.92)² - (450.30)² 2 (156.70) (307.92) Cos C = - 0.8642 C = 149.79°
  • 5. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 13 Cos D = c² + b² - d² 2cb Cos D = (226.50)² + (156.70)² - (312.30)² 2 (226.50) (156.70) Cos D = - 0.6053 D = 107.77° d1 = 307.92 b = 450.30 A B D2 d2 a=226.50a = 156.70 D1C b = 156.70 d = 312.30 A C c = 450.30 c = 226.50 D B Cos D1 = a² + c² - d1² 2ac Cos D1 = (156.70)² + (450.30)² - (307.92)² 2 (156.70) (450.30) Cos D1 = 0.9389 D1 = 20.12° D = D1 +D2 D2 = D – D1 D2 = 107.77° - 20.12° D2 = 87.65° Cos D2 = a² + b² - d2² 2ab Cos D2 = (226.50)² + (450.30)² - d2² 2 (226.50) (450.30) Cos D2 = 254072.34 – d2² 203985.9 d2 = 254072.34 - 203985.9 Cos(87.65°) d2 = 245730.921 d2 = 495.71 m = AB
  • 6. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 14 Se miden lados y diagonales. LEY DE COSENOS: Cos A = b² + c² - a² 2bc Cos B = a² + c² - b² 2ac Cos C = a² + b² - c² 2ab Conocido el ángulo A tenemos: Sen A = h1 / c h1 = c.Sen A Sen A = h2 / b h2 = b.Sen A Conocido el ángulo B tenemos: Sen B = h2 / a h2 = a.Sen B Sen B = h3 / c h3 = c.Sen B Conocido el ángulo C tenemos: Sen C = h1 / a h1 = a.Sen C Sen C = h3 / b h3 = b.Sen C B h1 b A C h3 c h2 a b A c C a B III I II ALINEAMIENTO ENTRE 2 PUNTOS INDIVISIBLES ENTRE SÍ, PERO VISIBLES DESDE 2 PUNTOS INTERMEDIOS . ALINEAMIENTO ENTRE 2 PUNTOS LEJANOS E INDIVISIBLES ENTRE SÍ . 3.1 MÉTODOS DE LEVANTAMIENTO CINTA EXCLUSIVAMENTE . Poligonal: 3.2.1. POR TRIANGULACIÓN . Polígono Cerrado
  • 7. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 15 180° - ø Q P ø Sen (180° - ø) = Sen ø 2 PQ Sen (180° - ø) / 2 = Sen (180° - ø) Área = PQ Sen ø || P X Q || = PQ Sen ø a = 209.72 b = 263.35 C A c = 291.50 B Área = (Producto de 2 lados) X (Seno del ángulo que forman) 2 Área = Base X Altura 2 Área = b.h1 = b.c.Sen A = a.b.Sen C 2 2 2 Área = c.h2 = a.b.Sen A = a.b.Sen B 2 2 2 Área = a.h1 = a.c.Sen B = a.b.Sen C 2 2 2 b.c.Sen A = a.b.Sen C = a.c.Sen B 2 2 2 c Sen A = a Sen C Sen A = Sen C a c b Sen C = c Sen B Sen B = Sen C b c Sen A = Sen B = Sen C c b c EJEMPLO: Calcular los ángulos interiores y el área del triángulo con la Ley de los Cosenos. Poligonal 1: Cos A = (263.35)² + (291.50)² - (209.72)² = 0.71869 2 (263.35) (291.50) A = 44.054° Cos B = (291.50)² + (209.72)² - (263.35)² = 0.48747 2 (291.50) (209.72) B = 60.826° Cos C = (209.72)² + (291.50)² - (263.35)² = 0.25678 2 (209.72) (291.50) C = 75.121° Area = (263.35) (209.72) Sen C 2 = 26 688.96 Area = 26 689 u²
  • 8. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 16 c = 550.65 B1 a = 435.70 A1 b = 510.30 I C1 576.86 550.65 488.32 F A IV C 510.30 B I 435.70 III E 600.78 479.85 II 266.57 D 372.41 Poligonal 2: I ) Cos A1 = (550.65)² + (510.30)² - (435.70)² = 0.66511 A1 = 48.309° 2 (550.65) (510.30) Cos B1 = (550.65)² + (435.70)² - (510.30)² = 0.48484 B1 = 60.998° 2 (550.65) (435.70) Cos C1 = (435.70)² + (510.30)² - (550.65)² = 0.33063 C1 = 70.693° 2 (435.70) (510.30) Area = (435.70) (510.30) Sen C1 = 104 916.7 Area = 104 917 u² 2 II ) Cos C2 = (510.30)² + (266.57)² - (479.85)² = 0.37201 C2 = 68.160° 2 (510.30) (266.57) Cos A2 = (510.30)² + ( 479.85)² - (266.57)² 2 (510.30) (479.85) = 0.85680 A2 = 31.041°
  • 9. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 17 Cos D2 = (266.57)² + (479.85)² - (510.30)² = 0.15991 D2 = 80.798° 2 (266.57) (479.85) Area = (510.30) (266.57) Sen C2 = 63 133.6 Area = 63 134 u² 2 III) Cos D3 = (479.85)² + (372.41)² - (600.78)² = 0.02241 D3 = 88.716° 2 (479.85) (372.41) Cos E3 = (600.78)² + (372.41)² - (479.85)² = 0.60198 E3 = 52.988° 2 (600.78) (372.41) Area = (479.85) (372.41) Sen D3 Area = 89 328 u² 2 IV ) Cos E4 = (600.78)² + (576.86)² - (488.32)² = 0.656797 E4 = 48.944° 2 (600.78) (576.86) Cos F4 = (488.32)² + (576.86)² - (600.78)² = 0.37326 F4 = 68.083° 2 (488.32) (576.86) Area = (600.78) (576.86) Sen E4 Area = 130 667 u² 2 600.78 A3 372.41 479.85 III D3 E3 Cos A3 = (479.85)² + (600.78)² - (372.41)² 2 (479.85) (600.78) = 0.78482 A3 = 38.296° IV 488.32 A4 F4 576.86 600.78 E4 Cos A4 = (600.78)² + (488.32)² - (376.86)² 2 (600.78) (488.32) = 0.45441 A4 = 62.973°
  • 10. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 18 B 60°59'19" 138°51'10" C 101°55'35" F 68°04'59" A 180°38'08" 169°30'50" E D Suma de ángulos interiores: A = 48.309° + 31.041° + 38.296° + 62.993° = 180.619° B = 60.998° C = 70.693° + 68.160° = 138.853° D = 80.798° + 88.716° = 169.514° E = 52.988° + 48.944° = 101.932° F = 68.083° Suma = 719.999° Suma de ángulos teórica: 180° (n – 2) = 180° (6 – 2) = 720° Suma de áreas: Área1 = 104 917 Área2 = 63 134 Área3 = 89 328 Área4 = 130 667 Suma = 388 046 u² Área Total = 38 - 80 - 46 Ha. Dibujo de la poligonal
  • 11. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 19 576.86 550.65 488.32 F A IV C 510.30 B I 435.70 III E 600.78 479.85 II 266.57 D 372.41 FÓRMULA DEL SEMIÁNGULO EJEMPLO: Encontrar los ángulos internos y el área del polígono con la fórmula del semiperímetro. I ) s = 435.70 + 510.30 + 550.65 2 s = 748.325 m SenAl /2=((748.325–550.65)(748.325 – 510.30) / (550.65)(510.30))1/2 A1 = 48.309° SenBl /2=((748.325–435.70)(748.325 – 550.65) / (550.65)(550.65))1/2 B1 = 60.998° SenCl /2=((748.325–435.70)(748.325 – 510.30) / (437.70)(510.30))1/2 C1 = 70.693° Área=(748.325(748.325-510.30)(748.325-435.70)(748.325- 550.65))1/2 =104916.5u2 Área = 104 917 m² s = a + b + c 2 s = Semiperímetro ab )cs)(bs( 2 A Sen   ac )cs)(as( 2 B Sen   ab )bs)(as( 2 C Sen   c)-b)(s-a)(s-s(sÁrea 
  • 12. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 20 II ) s = 266.57 + 479.85 + 510.30 2 s = 628.360 m SenAl /2=((628.360–479.85)(628.360 – 510.30) / (479.85)(510.30))1/2 = 0.26759 A2 = 31.041° SenC2 /2=((628.360–266.57)(628.360–510.30) / (266.57)(510.30))1/2 = 0.56035 C2 = 68.160° SenD2 /2=((628.360–266.57)(628.360–479.85) / (266.57)(479.85))1/2 = 0.64811 D2 = 80.798° Área=(628.36(628.36 - 266.57)(628.36 - 479.85)(628.36-510.30))1/2 = 63133.8m2 Área = 63 134 m² III ) s = 372.41 + 600.78 + 479.85 2 s = 726.520 m SenA3 /2 =((726.52 - 600.78)(726.52 - 479.85) / (600.78)(479.85))1/2 = 0.320801 A3 = 38.296° SenD3 /2 =((726.52 – 372.41)(726.52 - 479.85) / (372.41)(479.85))1/2 = 0.69914 D3 = 88.716° SenE3 /2 =((726.52 – 372.41)(726.52 – 600.78) / (372.41)(600.78))1/2 = 0.44611 E3 = 52.988° 890)78.600520.726)(85.479520.726)(41.372520.726(520.726Área 
  • 13. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 21 a (Lado de Liga) A A k k Cos A = k² + k ² - a² = 2k² - a² 2 (k) (k) 2k² = 2k² - a² 2k² 2k² Cos A = 1 - a² 2k² Sen (A/2) = a / 2 K = a 2k Área = 89 075 m² IV ) s = 576.86 + 488.32 + 600.78 2 s = 832.98 m SenA4 /2 =((832.98-488.32)(832.98-600.78) / (488.32)(600.78))1/2 = 0.52230 A4 = 62.973° SenE4 /2 =((832.98-576.86)(832.98-600.78) / (576.86)(600.78))1/2 = 0.41425 E4 = 48.944° SenF4 /2 =((832.98-576.86)(832.98-488.32) / (576.86)(488.32))1/2 = 0.55980 F4 = 68.084° Área=(832.98(832.98-576.86)(832.98-488.32)(832.98-600.78))1/2 = 130666.8m2 Área = 130 667 m² 3.2.2. MÉTODO DEL LADO DE LIGA . Se recomienda para levantamientos preliminares. Donde a y k son conocidos.
  • 14. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 22 D C3 E3 9.20 m E E1 E2 C C2 B B2 B1 A1 11.50 m k = 20 m A EJEMPLO: Se pretende levantar un terreno de 5 lados y el arroyo crecido no permite medir las distancias AE y AB; pero ayudándose de las prolongaciones de las líneas se midieron los lados de liga en los vértices E y B. Calcule los datos faltantes y el área del terreno. Sugerencia: considere la suma de los ángulos interiores del triángulo AEB forzada a 180° para obtener el ángulo A. EST. P.V. DISTANCIA ANG. INTERIOR A B 119° 59’ 24” B C 345.60 81° 32’ 53” C D 175.50 133° 51’ 21” D E 263.60 90° 00’ 00” E A 114° 36’ 00” B E 415.20 E C 316.68 Sen B1 /2= (11.50)/(2(20)) = 0.2875 B1 = 33.42° Sen E1 /2= (9.2)/(2(20)) = 0.23 E1 = 26.59° A1 + B1 + C1 = 180° A1 = 180° - 33.42° - 26.59° A1 = 119.99° Aplicamos la Ley de los Senos: Sen 119.99° = Sen 33.42° = Sen 26.59° 415.20 AE AB AE = (415.20) Sen 33.42° AB = (415.20) Sen 26.59° Sen 119.99° Sen 119.99° AE = 264.01 m AB = 214.60 m A1 E E1 415.20 264.01 B1 B 214.60 A Área = (264.1) (214.60) Sen 119.99° 2 Área = 24 535 m²
  • 15. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 23 D 175.50 C3 C 263.60 d E3 E )²50.175(²(263.60)d e²c²²d   d = 316.68 m 316.68 345.60 C C2 415.20 E2 E B2 B Cos E3 = (263.60)² + (316.68)² - (175.50)² = 0.83239 E3 2 (263.60) (316.68) E3 = Tan-1 (175.50/263.60) = 33.655° E3 = 33.655° Cos D3=(263.60)² + (175.50)² - (316.68)² = 1.0942X10-5 2 (263.60) (175.50) D3 = 90.000° Cos C3 = (175.50)² + (316.68)² - (263.60)² = 0.55420 2 (175.50) (316.68) C3 = Tan-1 (263.6/175.50) = 56.345° C3 = 56.344° Area = (175.50) (263.60) Sen D3 = 23 130.9 Area = 23 131 m² 2 Cos E2 = (316.68)² + (415.20)² - (345.60)² = 0.58272 E2 2 (316.68) (415.20) E2 = 54.358° Area = (415.20) (345.60) Sen B2 = 53 427.4 2 Area = 53 427 m² Cos B2 = (415.20)² + (345.60)² - (316.68)² 2 (415.20) (345.60) = 0.66743 B2 = 48.131° Cos C2 = (316.68)² + (345.60)² - (415.20)² 2 (316.68) (345.60) = 0.21625 C2 = 77.511°
  • 16. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 24 b'2 Bb c 3 C f Aa E D d F f a1 f d' 4 Ángulos: A = 119.99° B = 33.417° + 48.131° = 81.548° C = 77.511° + 45.345° = 133.856° D = 90° E = 26.59° + 54.358° + 33.655° = 114.60° Suma = 539.994° 180° (n – 2) = 180° (5 – 2) = 540° Área: A1 = 24 535 m² A2 = 53 427 m² A1 = 23 131 m² AT = 101 093 m² 3.2.3. MÉTODO DE RADIACIONES . 3.2.4. MÉTODO DE PROLONGACIÓN DE ALINEAMIENTOS . 3.3. LEVANTAMIENTO DE DETALLES DE REFERENCIACIÓN .
  • 17. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 25 A Cadenamiento @30 m, (excepto r = 25 m) A7 r A8 y 6 7 y Ay 73.50 m 5 6 3 A A A 5 4 2 A 1 Ø Ø = 24.37° 2 y 3 y 4 y A0 0 y 1 y A LEVANTAMIENTO DE ÁREAS IRREGULARES . A0 = (yo + y1) d A3 = (y3 + y4) d 2 2 A1 = (y1 + y2) d An-2 = (yn-2 + yn-1) d 2 2 A2 = (y2 + y3) d An-1 = (yn-1 + yn) r 2 2 suma A = A0 + A1 + A2 + A3 + ... + An-2 + An-1 2 AT = (y0 + y1 + y1 + y2 + y2 + y3 + y3 + y4 + ... + yn-2 + yn-1) d + (yn-1 + y0) r r)yy(d)yy(y2A2 n1n1n0 2n 1i iT      2 r )yy( 2 d )yy(yA n1n1n0 2n 1i iT      2 AT = (y1 + y1 + y2 + y2 + y3 + y3 + ... + yn-1 + yn-1 + yn + yn) d 2 AT = 2 d (y1 + y2 + y3 + ... + yn-1 + yn) d AT = d (y1 + y2 + y3 + ... + yn-1 + yn) d    n 1i iT ydA EJEMPLO:
  • 18. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 26 la cinta Cero de b A c Línea de referencia a Línea que pretende trazarse A0 = (70.00) (73.50) Sen (24.37°) = 1061.4 m² A0 2 = 1061 m² A1 = (y1 + y2) d = (70.00 + 65.30) (30.00) = 2029.5 m² 2 2 A1 = 2030 m² A2 = (y2 + y3) d = (65.30 + 59.90) (30.00) = 1878 m² 2 2 A2 = 1878 m² A3 = (y3 + y4) d = (59.90 + 56.20) (30.00) = 1741.5 m² 2 2 A3 = 1742 m² A4 = (y4 + y5) d = (56.20 + 43.80) (30.00) = 1500 m² 2 2 A4 = 1500 m² A5 = (y5 + y6) d = (43.80 + 35.20) (30.00) = 1185 m² 2 2 A5 = 1185 m² A6 = (y7 + y8) d = (35.20 + 26.10) (30.00) = 919.5 m² 2 2 A6 = 920 m² A7 = (y7 + y8) d = (35.20 + 26.10) (30.00) = 919.5 m² 2 2 A7 = 920 m² A8 = (15.00) (25.00) = 187.5 m² 2 A8 = 188 m² Área Total = 11 120 m² TRAZO DE ÁNGULOS CON CINTA . Datos conocidos ángulo A y k (largo de la cinta). a + b + c = k Sen A = a c . Sen A = a c Cos A = b c . Sen A = b
  • 19. Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora 27 c c . Sen A + c . Cos A + c = k c = k______ c (Sen A + Cos A + 1) = k Sen A + Cos A + 1 EJEMPLO : y 30.00 m Marca de cero Marca de 8.786 m 45° Marca de 17.573 m A = 45°, k = 30 m c = 30 = 12.4264 m Sen (45°) + Cos (45°) + 1 a = 12.4264 Sen (45°) = 8.786 m b = 12.4264 Cos (45°) = 8.786 m COMPROBACIÓN: a + b + c = k 2(8.7867) + 12.4264 = 30 m a² + b² = c² c = 12.426 m