Unidad 8 - Tornillos Shigley elementos-2.pdf

8Tornillos, sujetadores
y diseño de uniones
no permanentes
Esquema del capítulo
8-1 Normas y definiciones de roscas 392
8-2 Mecánica de los tornillos de potencia 396
8-3 Sujetadores roscados 404
8-4 Uniones: rigidez del sujetador 406
8-5 Uniones: rigidez del elemento 409
8-6 Resistencia del perno 414
8-7 Uniones a tensión: la carga externa 417
8-8 Relación del par de torsión del perno con la tensión del perno 418
8-9 Uniones a tensión cargadas en forma estática con precarga 421
8-10 Uniones con empaque 425
8-11 Carga por fatiga de uniones a tensión 425
8-12 Uniones con pernos y remaches cargadas en cortante 432
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392 Capítulo 8 Tornillos, sujetadores y diseño de uniones no permanentes
8-1
Sin duda, el tornillo de rosca helicoidal fue un invento mecánico muy importante. Es la base
de los tornillos de potencia, que cambian de movimiento angular a movimiento lineal para
transmitir potencia o desarrollar grandes fuerzas (prensas, gatos, etc.), y de los sujetadores
roscados, que son un elemento fundamental en las uniones no permanentes.
En este texto se presupone un conocimiento de los métodos elementales de sujeción.
Los métodos comunes para sujetar o unir partes usan dispositivos tales como pernos, tuercas,
pasadores, cuñas, remaches, soldaduras y adhesivos. A menudo, los estudios de gráficos de
ingeniería y de procesos metálicos incluyen instrucciones sobre varios métodos de unión, y
la curiosidad de cualquier persona interesada en la ingeniería mecánica resulta en la adqui-
sición de un buen conocimiento de respaldo acerca de los métodos de sujeción. Contrario a
las primeras impresiones, esta materia es una de las más interesantes en todo el campo del
diseño mecánico.
Uno de los objetivos clave del diseño actual de la manufactura es reducir el número de
sujetadores. Sin embargo, siempre habrá necesidad de ellos para facilitar el desensamble para
propósitos diversos. Por ejemplo, aviones jumbo como el Boeing 747 requieren de hasta 2.5
millones de sujetadores, algunos de los cuales cuestan varios dólares por pieza. Para mantener
los costos bajos, los fabricantes de aviones y sus subcontratistas hacen una revisión constante
de los nuevos diseños de sujetadores, las técnicas más recientes de instalación y los modernos
tipos de herramientas.
A lo largo de cualquier periodo, el número de innovaciones que ha afectado el campo
de los sujetadores ha sido tremendo. Una variedad enorme de ellos se encuentran disponi-
bles para que el diseñador elija. Por lo general, los diseñadores serios tienen un cuaderno de
notas específico para sujetadores. Los métodos de unión de partes son tan importantes en la
ingeniería de diseño de calidad, que es necesario comprender a fondo el desempeño de los
sujetadores y uniones bajo todas las condiciones de uso y diseño.
Normas y definiciones de roscas
La terminología de las roscas de tornillo, que se ilustran en la figura 8-1, se explica de la
manera siguiente:
El paso es la distancia entre dos cuerdas adyacentes, medida en forma paralela al eje de
la rosca. El paso en unidades inglesas es el recíproco del número de cuerdas por pulgada N.
El diámetro mayor d es el diámetro más grande de una rosca de tornillo.
El diámetro menor (o raíz) dr es el diámetro más pequeño de una rosca de tornillo.
El diámetro de paso dp es un diámetro teórico entre los diámetros mayor y menor.
El avance l, que no se muestra, es la distancia que se desplaza una tuerca en forma para-
lela al eje del tornillo cuando a ésta se le da una vuelta. En el caso de una rosca simple, como
en la figura 8-1, el avance es igual al paso.
Un producto con rosca múltiple es el que tiene dos o más roscas cortadas lado a lado
(imagine dos o más cuerdas enrolladas juntas alrededor de un lápiz). Los productos estanda-
rizados como tornillos, pernos y tuercas tienen roscas sencillas: un tornillo de rosca doble
tiene un avance igual al doble del paso, el avance de un tornillo de rosca triple es igual a 3
veces el paso, y así sucesivamente.
Todas las roscas se hacen de acuerdo con la regla de la mano derecha, a menos que se
indique otra cosa.
La norma para roscas American National Unified ha sido aprobada en Estados Unidos y
Gran Bretaña para su empleo en todos los productos roscados estandarizados. El ángulo de la
rosca es 60° y sus crestas pueden ser aplanadas o redondas.
En la figura 8-2 se muestra la geometría de la rosca de los perfiles métricos M y MJ. El
perfil M reemplaza la clase de pulgadas y es el perfil básico ISO 68 con roscas simétricas
a 60°. El MJ tiene un filete redondeado en la raíz de la rosca externa y un diámetro menor
más grande en las roscas interna y externa. Dicho perfil resulta de especial utilidad cuando se
requiere alta resistencia a la fatiga.
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Las tablas 8-1 y 8-2 serán útiles cuando se deban especificar y diseñar partes roscadas.
Observe que el tamaño de la rosca se determina dando el paso p para tamaños métricos y
por el número N de roscas por pulgada para los tamaños unificados. Los tamaños de torni-
llos incluidos en la tabla 8-2 con diámetro menor que 1
4 pulg son tamaños numerados o por
calibres. La segunda columna de la tabla 8-2 muestra que un tornillo del número 8 tiene un
diámetro mayor nominal de 0.1640 pulg.
Un gran número de pruebas a la tensión de varillas roscadas demostró que una varilla
sin rosca con diámetro igual a la media del diámetro de paso y al diámetro menor mostrará la
misma resistencia a la tensión que la varilla roscada. El área de la varilla sin rosca se llama
área de esfuerzo de tensión At de la varilla roscada; los valores de At se presentan en ambas
tablas.
Existen dos series principales de roscas unificadas de uso común: UN y UNR. La dife-
rencia entre ellas es simplemente que en la serie UNR se usa un radio de la raíz. Debido a
los factores reducidos de concentración de esfuerzo en la rosca, las roscas de serie UNR
presentan mayores resistencias a la fatiga. Las roscas unificadas se especifican enunciando el
diámetro mayor nominal, el número de roscas por pulgada y la serie de rosca, por ejemplo 5
8
pulg-18 UNRF o 0.625 pulg-18 UNRF.
Las roscas métricas se especifican mediante el diámetro y el paso en milímetros, en ese
orden. Así, M12 1.75 mm es una rosca que tiene un diámetro mayor nominal de 12 mm
y un paso de 1.75 mm. Observe que la letra M, que precede al diámetro, es la clave de la
designación métrica.
Figura 8-1
Terminología de roscas de
tornillo. Para mayor claridad se
presentan roscas agudas en V; en
realidad, las crestas y las raíces
se aplanan o redondean durante
la operación de formado.
Figura 8-2
Perfil básico de las roscas métri-
cas M y MJ.
d diámetro mayor
dr diámetro menor
dp diámetro de paso
p paso
H
√
3
2 p
Diámetro mayor
Diámetro de paso
Diámetro menor
Paso p
45º Bisel
Ángulo de la rosca 2α
Raíz
Cresta
Roscas internas
Roscas externas
H
4
H
4
5H
8
3H
8
H
8
H
p
4
p
2
p
p
2
p
8
30°
60°
60°
dr
dp
d
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Diámetro
mayor
nominal
d, mm
Serie de paso grueso Serie de paso fino
Paso p,
mm
Área de
esfuerzo de
tensión At,
mm2
Área del
diámetro
menor Ar,
mm2
Paso
p,
mm
Área de
esfuerzo
de tensión
At, mm2
Área del
diámetro
menor Ar,
mm2
1.6 0.35 1.27 1.07
2 0.40 2.07 1.79
2.5 0.45 3.39 2.98
3 0.5 5.03 4.47
3.5 0.6 6.78 6.00
4 0.7 8.78 7.75
5 0.8 14.2 12.7
6 1 20.1 17.9
8 1.25 36.6 32.8 1 39.2 36.0
10 1.5 58.0 52.3 1.25 61.2 56.3
12 1.75 84.3 76.3 1.25 92.1 86.0
14 2 115 104 1.5 125 116
16 2 157 144 1.5 167 157
20 2.5 245 225 1.5 272 259
24 3 353 324 2 384 365
30 3.5 561 519 2 621 596
36 4 817 759 2 915 884
42 4.5 1 120 1 050 2 1 260 1 230
48 5 1 470 1 380 2 1 670 1 630
56 5.5 2 030 1 910 2 2 300 2 250
64 6 2 680 2 520 2 3 030 2 980
72 6 3 460 3 280 2 3 860 3 800
80 6 4 340 4 140 1.5 4 850 4 800
90 6 5 590 5 360 2 6 100 6 020
100 6 6 990 6 740 2 7 560 7 470
110 2 9 180 9 080
* Las ecuaciones y los datos utilizados para elaborar esta tabla se obtuvieron de la norma ANSI B1.1-1974 y B18.3.1-1978. El
diámetro menor se determinó mediante la ecuación dr d 1.226 869p, y el diámetro de paso a partir de dpp d 0.649 519p.
La media del diámetro de paso y el diámetro menor se usaron para calcular el área de esfuerzo de tensión.
En las figuras 8-3a) y b) se ilustran las roscas cuadradas y Acme, respectivamente, que se
emplean cuando se va a transmitir potencia. En la tabla 8-3 se listan los pasos preferidos para
roscas Acme de la serie en pulgadas. Sin embargo, con frecuencia pueden usarse otros pasos,
puesto que no existe la necesidad de una norma para tales roscas.
A menudo se hacen modificaciones a las roscas Acme y cuadradas. Por ejemplo, la
rosca cuadrada algunas veces se modifica cortando el espacio entre los dientes para incluir
un ángulo de 10 a 15°. Esta tarea no es difícil, puesto que de todos modos dichas roscas se
cortan usualmente con una herramienta que tiene una sola punta de corte; en gran medida,
la modificación retiene la alta eficiencia inherente de las roscas cuadradas y simplifica el
corte. Algunas veces, las roscas Acme se modifican hasta una forma achatada para hacer los
dientes más cortos, de lo cual resulta un diámetro menor más largo y un tornillo un poco más
resistente.
Tabla 8-1
Diámetros y áreas de roscas
métricas de paso grueso y
fino*
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* Esta tabla se compiló de la norma ANSI B1.1-1974. El diámetro menor se determinó mediante la ecuación dr d -1.299 038p y el diámetro de paso a partir de
dp d 0.649 519p. Para calcular el área de esfuerzo de tensión se usaron la media del diámetro de paso y el diámetro menor.
Designación
de tamaño
Diámetro
mayor nomi-
nal
Serie gruesa-UNC Serie fina-UNF
Roscas por
pulgada, N
Área de
esfuerzo de
tensión At,
pulg2
Área del
diámetro
menor Ar,
pulg2
Roscas por
pulgada, N
Área de
esfuerzo de
tensión At,
pulg2
Área del
diámetro
menor Ar,
pulg2
0 0.0600 80 0.001 80 0.001 51
1 0.0730 64 0.002 63 0.002 18 72 0.002 78 0.002 37
2 0.0860 56 0.003 70 0.003 10 64 0.003 94 0.003 39
3 0.0990 48 0.004 87 0.004 06 56 0.005 23 0.004 51
4 0.1120 40 0.006 04 0.004 96 48 0.006 61 0.005 66
5 0.1250 40 0.007 96 0.006 72 44 0.008 80 0.007 16
6 0.1380 32 0.009 09 0.007 45 40 0.010 15 0.008 74
8 0.1640 32 0.014 0 0.011 96 36 0.014 74 0.012 85
10 0.1900 24 0.017 5 0.014 50 32 0.020 0 0.017 5
12 0.2160 24 0.024 2 0.020 6 28 0.025 8 0.022 6
1
4 0.2500 20 0.031 8 0.026 9 28 0.036 4 0.032 6
5
16 0.3125 18 0.052 4 0.045 4 24 0.058 0 0.052 4
3
8 0.3750 16 0.077 5 0.067 8 24 0.087 8 0.080 9
7
16 0.4375 14 0.106 3 0.093 3 20 0.118 7 0.109 0
1
2 0.5000 13 0.141 9 0.125 7 20 0.159 9 0.148 6
9
16 0.5625 12 0.182 0.162 18 0.203 0.189
5
8 0.6250 11 0.226 0.202 18 0.256 0.240
3
4 0.7500 10 0.334 0.302 16 0.373 0.351
7
8 0.8750 9 0.462 0.419 14 0.509 0.480
1 1.0000 8 0.606 0.551 12 0.663 0.625
11
4 1.2500 7 0.969 0.890 12 1.073 1.024
11
2 1.5000 6 1.405 1.294 12 1.581 1.521
Tabla 8-2
Diámetros y área de roscas unificadas de tornillo UNC y UNF*
Figura 8-3
a) Rosca cuadrada; b) rosca
Acme.
p
p
2
p
p
2
p
2
d
dr
d
dr
p
2
29°
a) b)
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Mecánica de los tornillos de potencia
Un tornillo de potencia es un dispositivo que se utiliza en maquinaria para cambiar el movi-
miento angular a movimiento lineal y, por lo general, para transmitir potencia. Entre las apli-
caciones familiares se incluyen los tornillos de tornos y los tornillos para prensas de banco,
prensas de sujeción y gatos.
En la figura 8-4 se muestra una aplicación de los tornillos de transmisión de potencia de
un gato accionado manualmente. El lector debe identificar el sinfín y el engrane, el tornillo y
la tuerca del sinfín. ¿El engrane del sinfín es soportado por uno o dos cojinetes?
d, in 1
4
5
16
3
8
1
2
5
8
3
4
7
8
1 1 1
4
1 1
2
1 3
4
2 2 1
2
3
p, in 1
16
1
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1
12
1
10
1
8
1
6
1
6
1
5
1
5
1
4
1
4
1
4
1
3
1
2
Tabla 8-3
Pasos preferidos para roscas
Acme
8-2
Figura 8-4
Gato de tornillo sinfín Joyce.
(Cortesía Joyce-Dayton Corp.,
Dayton, Ohio.)
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En la figura 8-5 se presenta un tornillo de potencia de rosca cuadrada con rosca simple,
con un diámetro medio dm, un paso p, un ángulo de avance , y el ángulo de la hélice
sometido a la fuerza de compresión axial F. Se desea encontrar la expresión del par de torsión
requerido para elevar la carga y otra expresión del par de torsión necesario para bajarla.
Primero, imagine que una rosca del tornillo se desenrolla o se desarrolla (figura. 8-6)
exactamente una vuelta. Luego, el borde de la rosca formará la hipotenusa de un triángulo
rectángulo cuya base es la circunferencia del círculo de diámetro medio de la rosca, mientras
que la altura está dada por el avance. El ángulo , en las figuras 8-5 y 8-6, es el ángulo de
avance de la rosca. La suma de todas las fuerzas unitarias axiales que actúan sobre el área
normal de la rosca se representa por F. Para elevar la carga, una fuerza PR actúa a la derecha
(vea la figura 8-6a), y para bajar la carga, PL actúa hacia la izquierda (vea la figura 8-6b). La
fuerza de fricción es el producto del coeficiente de fricción f por la fuerza normal N, y actúa
oponiéndose al movimiento. El sistema está en equilibrio bajo la acción de estas fuerzas, por
lo que, para elevar la carga, se tiene
Fx ⫽ PR − N sen λ − f N cos λ ⫽ 0
(a)
Fy ⫽− F − f N sen λ ⫹ N cos λ ⫽ 0
De manera similar, para bajar la carga, se tiene
Fx ⫽ −PL − N sen λ ⫹ f N cos λ ⫽ 0
(b)
Fy ⫽ −F ⫹ f N sen λ ⫹ N cos λ ⫽ 0
Figura 8-5
Parte de un tornillo de potencia.
Figura 8-6
Diagramas de fuerza: a) al subir
la carga; b) al bajar la carga.
F⁄ 2
p
F
F⁄ 2
Tuerca
dm
␺
␭
␲dm
l
F
PR
fN
N
␭
␲dm
a) b)
l
F
fN
PL
N
␭
y
x
y
x
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Como no interesa la fuerza normal N, se elimina de cada uno de los sistemas de ecuaciones
y se despeja P. Para elevar la carga, esto da
PR ⫽
F( λ ⫹ f cos λ)
cos λ − f senλ
sen
(c)
y para bajar la carga,
PL ⫽
F( f cos λ − λ)
cos λ ⫹ f senλ
sen
(d)
En seguida, se divide el numerador y el denominador de estas ecuaciones entre coseno y se
emplea la relación l/ dm (figura 8-6). Entonces se tiene, respectivamente,
PR ⫽
F[(l/π dm) ⫹ f ]
1 − ( f l/π dm)
(e)
PL ⫽
F[ f − (l/π dm)]
1 ⫹ ( f l/π dm)
(f )
Por último, si se observa que el par de torsión es el producto de la fuerza P y el radio medio
dm/2, para elevar la carga se puede escribir
TR ⫽
Fdm
2
l ⫹ π f dm
πdm − f l
(8-1)
donde TR representa el par de torsión que se requiere para dos propósitos: superar la fricción
en la rosca y elevar la carga.
Se determina que el par de torsión necesario para bajar la carga, de acuerdo con la ecua-
ción ( f ) es
TL ⫽
Fdm
2
π f dm − l
πdm ⫹ f l
(8-2)
Éste es el par de torsión que se requiere para superar una parte de la fricción al bajar la carga.
Puede resultar, en casos específicos donde el avance sea grande o la fricción baja, que la carga
baje por sí misma, lo que provoca que el tornillo gire sin ningún esfuerzo externo. En esos
casos, el par de torsión TL, de acuerdo con la ecuación (8-2), será negativo o igual a cero.
Cuando se obtiene un par de torsión positivo mediante esta ecuación, se dice que el tornillo
es autobloqueante. Así, la condición para el autobloqueo es
f dm l
Ahora divida ambos lados de la desigualdad entre dm. Con base en que l/ dm tan , se
obtiene
f tan (8-3)
Esta relación establece que el autobloqueo se presenta cuando el coeficiente de fricción de la
rosca es igual o mayor que la tangente del ángulo de avance de la rosca.
Una expresión de la eficiencia también resulta útil en la evaluación de los tornillos de
potencia. Si f 0 en la ecuación (8-1), se obtiene
T0 ⫽
Fl
2π
(g)
lo que, como se eliminó el coeficiente de fricción, expresa al par de torsión necesario sólo
para elevar la carga. Por lo tanto, la eficiencia es
e =
T0
TR
=
Fl
2πTR
(8-4)
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Las ecuaciones anteriores se desarrollaron para roscas cuadradas, donde las cargas nor-
males en las roscas son paralelas al eje del tornillo. En el caso de roscas Acme o de otros
tipos, la carga normal en la rosca está inclinada hacia el eje debido al ángulo de la rosca 2␣ y
al ángulo del avance . Como los ángulos de avance son pequeños, esta inclinación se puede
despreciar y sólo se considera el efecto del ángulo de la rosca (vea la figura 8-7a). El efecto
del ángulo ␣ se necesita para incrementar la fuerza de fricción debida a la acción de cuña de
las roscas. Por lo tanto, los términos de la fricción en la ecuación (8-1) deben dividirse entre
cos ␣. Para elevar la carga o para apretar un tornillo o perno, esto da
TR =
Fdm
2

l + π f dm sec α
πdm − f l sec α

(8-5)
Cuando se emplea la ecuación (8-5), es necesario recordar que expresa una aproximación
porque no se ha tomado en cuenta el efecto del ángulo de avance.
Para tornillos de potencia, la rosca Acme no resulta tan eficiente como la rosca cuadra-
da, debido a la fricción adicional que provoca la acción de cuña, pero a menudo se prefiere
porque es más fácil de maquinar y permite el empleo de una tuerca dividida, la cual se ajusta
para compensar el desgaste.
Por lo general, se debe utilizar un tercer componente del par de torsión en las aplicacio-
nes de tornillos de potencia. Cuando el tornillo se cargue axialmente, debe usarse un cojinete
de empuje o collarín de empuje entre los elementos rotatorio y estacionario, con objeto de
soportar el efecto de la componente axial. En la figura 8-7b) se ilustra un collarín de empuje
común para el que se supone que la carga está concentrada en el diámetro medio del collarín
dc. Si fc es el coeficiente de fricción del collarín, el par de torsión que se requiere es
Tc =
F fcdc
2
(8-6)
Para collarines grandes, el par de torsión podría calcularse de manera similar a la que se
emplea para los embragues de disco.
Los esfuerzos nominales en el cuerpo de los tornillos de potencia pueden relacionarse
con los parámetros de la rosca en la forma siguiente. El esfuerzo cortante nominal en torsión
t del cuerpo del tornillo puede expresarse como
τ =
16T
πd3
r
(8-7)
El esfuerzo axial en el cuerpo del tornillo debido a la carga F es
σ =
F
A
=
4F
πd2
r
(8-8)
Ángulo de
la rosca
Collarín
Tuerca
F
cos ␣
F⁄ 2
b)
a)
F⁄ 2
F
2␣ =
␣
F⁄ 2 F⁄ 2
dc
Figura 8-7
a) La fuerza normal en la rosca
aumenta debido al ángulo ␣; b)
el collarín de empuje tiene un
diámetro de fricción dc.
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en ausencia de acción de columna. Para una columna corta la fórmula del pandeo de J.B.
Johnson está dada por la ecuación (4-43), que es

F
A

crit
= Sy −

Sy
2π
l
k
2
1
C E
(8-9)
Los esfuerzos nominales en la rosca de los tornillos de potencia se relacionan con los
parámetros de rosca de la manera siguiente. El esfuerzo de apoyo en la figura 8-8, B, es
σB = −
F
πdmnt p/2
= −
2F
πdmnt p
(8-10)
donde nt es el número de roscas en contacto. Se determina que el esfuerzo flexionante b en
la raíz de la rosca es
Z =
I
c
=
(πdr nt ) (p/2)2
6
=
π
24
dr nt p2
M =
Fp
4
por lo tanto,
σb =
M
Z
=
Fp
4
24
πdr nt p2
=
6F
πdr nt p
(8-11)
El esfuerzo cortante transversal t en el centro de la raíz de la tuerca debido a la carga F es
τ =
3V
2A
=
3
2
F
πdr nt p/2
=
3F
πdr nt p
(8-12)
y en la parte superior de la raíz es cero. El esfuerzo de von Mises en la parte superior del
“plano” de la raíz se determina identificando primero los esfuerzos normales ortogonales y
los esfuerzos cortantes. A partir del sistema coordenado de la figura 8-8, se observa que
σx =
6F
πdr nt p
τxy = 0
σy = −
4F
πd2
r
τyz =
16T
πd3
r
σz = 0 τzx = 0
después se usa la ecuación (5-14) de la sección 5-5.
dm
Ff
F
y
x
F
T
p/2
p/2
Figura 8-8
Geometría de rosca cuadrada
útil para calcular los esfuerzos
flexionante y cortante transversal
en la raíz de la rosca.
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La forma de la rosca del tornillo es complicada desde el punto de vista del análisis.
Recuerde el origen del área de esfuerzo de tensión At, que se obtiene mediante un experi-
mento. Un tornillo de potencia que eleva una carga está en compresión y su paso de rosca se
acorta por deformación elástica. Su tuerca en contacto está en tensión y su paso de rosca
se alarga. Las tuercas en contacto no pueden compartir, de manera homogénea, la carga.
Algunos experimentos muestran que la primera rosca en contacto soporta 0.38 de la carga, la
segunda 0.25 y la tercera 0.18, y la séptima está libre de carga. Al estimar los esfuerzos de
las tuercas con las ecuaciones anteriores, sustituyendo 0.38F por F y haciendo nt igual a 1, se
obtendrá el nivel máximo de esfuerzos en la combinación rosca-tuerca.
EJEMPLO 8-1
Solución
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Un tornillo de transmisión de potencia de rosca cuadrada tiene un diámetro mayor de 32 mm
y un paso de 4 mm con roscas dobles y se va a emplear en una aplicación similar a la que se
presenta en la figura 8-4. Los datos que se proporcionan incluyen f fc 0.08, dc 40 mm
y F 6.4 kN por tornillo.
a) Encuentre la profundidad de la rosca, el ancho de rosca, el diámetro de paso, el diámetro
menor y el avance.
b) Determine el par de torsión necesario para elevar y bajar la carga.
c) Encuentre la eficiencia durante la elevación de la carga.
d) Calcule los esfuerzos de torsión y compresión en el cuerpo.
e) Encuentre el esfuerzo de apoyo.
f ) Encuentre el esfuerzo flexionante en la raíz de la rosca.
g) Determine el esfuerzo de von Mises en la raíz de la rosca.
h) Determine el esfuerzo cortante máximo en la raíz de la rosca.
a) En la figura 8-3a, la profundidad y el ancho de la rosca son los mismos y resultan iguales
a la mitad del paso, es decir, 2 mm. Asimismo
dm d p/2 32 4/2 30 mm
dr d p 32 4 28 mm
l np 2(4) 8 mm
b) Mediante las ecuaciones (8-1) y (8-6), se determina que el par de torsión que se requiere
para hacer girar el tornillo contra la carga es
TR =
Fdm
2

l + π f dm
πdm − f l

+
F fcdc
2
=
6.4(30)
2

8 + π(0.08)(30)
π(30) − 0.08(8)

+
6.4(0.08)40
2
= 15.94 + 10.24 = 26.18 N · m
A partir de las ecuaciones (8-2) y (8-6), se encuentra que el par de torsión para bajar la carga es
TL =
Fdm
2

π f dm − l
πdm + f l

+
F fcdc
2
=
6.4(30)
2

π(0.08)30 − 8
π(30) + 0.08(8)

+
6.4(0.08)(40)
2
= −0.466 + 10.24 = 9.77 N · m
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El signo menos en el primer término indica que el tornillo por sí mismo no es autobloqueante
y giraría bajo la acción de la carga, excepto por el hecho de que también existe fricción en el
collarín que también se debe vencer. De esta manera, el par de torsión necesario para hacer
girar el tornillo “con” la carga es menor que el que se necesita para vencer sólo la fricción
del collarín.
c) La eficiencia global al elevar la carga es
e =
Fl
2πTR
=
6.4(8)
2π(26.18)
= 0.311
d) El esfuerzo cortante en el cuerpo , debido al momento de torsión TR en el exterior del
cuerpo del tornillo, es
τ =
16TR
πd3
r
=
16(26.18)(103
)
π(283)
= 6.07 MPa
El esfuerzo axial normal nominal es
σ = −
4F
πd2
r
= −
4(6.4)103
π(282)
= −10.39 MPa
e) El esfuerzo de apoyo B es, con una rosca que soporta 0.38F,
σB = −
2(0.38F)
πdm(1)p
= −
2(0.38)(6.4)103
π(30)(1)(4)
= −12.9 MPa
f) El esfuerzo flexionante en la raíz de la rosca b con una rosca que soporta 0.38F, es
σb =
6(0.38F)
πdr (1)p
=
6(0.38)(6.4)103
π(28)(1)4
= 41.5 MPa
g) El cortante transversal en el extremo de la sección transversal de la raíz, debido a la
flexión, es cero. Sin embargo, existe un esfuerzo cortante circunferencial en el extremo
de la sección transversal de la raíz de la rosca, como se muestra en el inciso d) de 6.07
MPa. Los esfuerzos tridimensionales, según la figura 8-8, si se observa que la coordenada
y es hacia la página, son
σx = 41.5 MPa τxy = 0
σy = −10.39 MPa τyz = 6.07 MPa
σz = 0 τzx = 0
Por el esfuerzo de von Mises la ecuación (5-14) de la sección 5-5 puede escribirse como
σ
=
1
√
2
{(41.5 − 0)2
+ [0 − (−10.39)]2
+ (−10.39 − 41.5)2
+ 6(6.07)2
}1/2
= 48.7 MPa
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Respuesta
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En forma alternativa, se pueden determinar los esfuerzos principales y después usar la ecua-
ción (5-12) para encontrar el esfuerzo de von Mises. Esto también sería útil el evaluar máx.
Los esfuerzos principales pueden encontrarse a partir de la ecuación (3-15); sin embargo, bos-
queje el elemento de esfuerzo y observe que no hay esfuerzos cortantes sobre la cara x. Esto
significa que x es un esfuerzo principal. Los esfuerzos restantes pueden transformarse usan-
do la ecuación del esfuerzo plano, ecuación (3-13). Por lo tanto, los esfuerzos principales son
−10.39
2
±

−10.39
2
2
+ 6.072 = 2.79, −13.18 MPa
Si se ordenan los esfuerzos principales resulta 1, 2, 3 41.5, 2.79, 13.18 MPa. Al sus-
tituir estos esfuerzos en la ecuación (5-12) se obtiene
σ
=

[41.5 − 2.79]2
+ [2.79 − (−13.18)]2
+ [−13.18 − 41.5]2
2
1/2
= 48.7 MPa
h) El esfuerzo cortante máximo está dado por la ecuación (3-16), donde máx 1/3, de
donde se obtiene
τmáx ⫽
σ1 − σ3
2
⫽
41.5 − −
( 13.18)
2
⫽ 27.3 MPa
Tabla 8-4
Presión de apoyo del tornillo pb
Fuente: H.A. Rothbart y T.H.
Brown, Jr., Mechanical Design
Handbook, 2a. ed., McGraw-Hill,
Nueva York, 2006.
Material
del tornillo
Material
de la tuerca
pb seguro,
psi Notas
Acero Bronce 2 500-3 500 Baja velocidad
Acero Bronce 1 600-2 500 10 pies/min
Hierro fundido 1 800-2 500 8 pies/min
Acero Bronce 800-1 400 20-40 pies/min
Hierro fundido 600-1 000 20-40 pies/min
Acero Bronce 150-240 50 pies/minm
Ham y Ryan1
demostraron que el coeficiente de fricción en las roscas de un tornillo es
independiente de la carga axial, prácticamente independiente de la velocidad, disminuye con
lubricantes pesados, presenta poca variación con las combinaciones de materiales y es mejor
para acero sobre bronce. Los coeficientes de fricción deslizante en tornillos de potencia son
de alrededor de 0.10 a 0.15.
En la tabla 8-4 se presentan las presiones de apoyo seguras en roscas, para proteger las
superficies móviles del desgaste anormal. En la tabla 8-5 se presentan los coeficientes de fric-
ción deslizante de pares de materiales comunes. En la tabla 8-6 se muestran los coeficientes
de la fricción de inicio y de operación de pares comunes de materiales.
1
Ham y Ryan, An Experimental Investigation of the Friction of Screw-threads. Bulletin 247, University of Illinois
Experiment Station, Champaign-Urbana, Ill., 7 de junio de 1932.
Respuesta
Respuesta
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Sujetadores roscados
A medida que se estudien las secciones sobre sujetadores roscados y su uso, se debe estar
alerta a la presencia de una mezcla de puntos de vista estocásticos y determinísticos. En la
mayoría de los casos, la amenaza se debe a la sobrecarga de los sujetadores, lo que se evita
mediante métodos estadísticos. La amenaza de la fatiga es menor y los métodos determinís-
ticos tal vez sean adecuados.
En la figura 8-9 se presenta un dibujo de un perno estándar de cabeza hexagonal. Los
puntos de concentración del esfuerzo se encuentran en el filete, al inicio de las roscas (termi-
nación) y en el filete de la raíz de la tuerca, en el plano de la tuerca cuando está presente. Vea
la tabla A-29 para conocer las dimensiones. El diámetro de la cara de la arandela es igual que
el ancho entre las caras planas de la cabeza hexagonal. La longitud de la rosca de tornillos de
serie en pulgadas, donde d es el diámetro nominal, se expresa mediante
LT =
2d + 1
4
L ≤ 6 pulg
2d + 1
2
L 6 pulg
pulg
pulg
(8-13)
y para tornillos métricos,
LT =
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2d + 6
2d + 12 125
2d + 25
L ≤ 125 d ≤ 48
L ≤ 200
L 200
(8-14)
donde las dimensiones están en milímetros. La longitud ideal del tornillo es aquella donde sólo
sobresalen una o dos roscas de la tuerca después de que se aprieta. Los agujeros de los tor-
nillos quizá presenten rebabas o bordes agudos después de su formado, que podrían penetrar
en el entalle e incrementar la concentración del esfuerzo. Por lo tanto, para prevenir este
problema, siempre deben usarse arandelas debajo de la cabeza del perno. Deben ser de acero
endurecido y cargadas en el perno de manera que el borde redondeado del agujero estampado
esté de frente al tornillo. Algunas veces también es necesario emplear arandelas debajo de
la tuerca.
El propósito de un tornillo es sujetar dos o más partes. La carga de sujeción estira o alar-
ga el tornillo; la carga se obtiene haciendo girar la tuerca hasta que el tornillo se alargue casi
Tabla 8-6
Coeficientes de fricción de
collarín de empuje
Nueva York, 2006.
Combinación En operación Arranque
Acero suave sobre hierro fundido 0.12 0.17
Acero duro sobre hierro fundido 0.09 0.15
Acero suave sobre bronce 0.08 0.10
Acero duro sobre bronce 0.06 0.08
8-3
Tabla 8-5
Coeficientes de fricción f de
pares roscados
Nueva York, 2006.
Material del
tornillo
Material de la tuerca
Acero Bronce Latón Hierro fundido
Acero, seco 0.15-0.25 0.15-0.23 0.15-0.19 0.15-0.25
Acero, aceite para
máquina
0.11-0.17 0.10-0.16 0.10-0.15 0.11-0.17
Bronce 0.08-0.12 0.04-0.06 — 0.06-0.09
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1
64
H
Aprox. pulg
30°
R
W
Figura 8-9
Tornillo de cabeza hexagonal;
observe la cara de la arandela,
el filete debajo de la cabeza, el
inicio de las roscas y el bisel en
ambos extremos. La longitud de
los tornillos siempre se mide des-
de la parte inferior de la cabeza.
Figura 8-10
Cabezas usuales de tornillos: a)
cilíndrica ranurada; b) plana; c)
hueca hexagonal. Este tipo de
tornillos también se fabrica con
cabeza hexagonal similar a la de
la figura 8-9, así como en una va-
riedad de otros estilos de cabeza.
En la ilustración se utiliza uno de
los métodos convencionales para
representar las roscas.
l
a)
L
H
A
l
l
L
H
b)
L
H
A
80 a 82⬚
c)
A
D D
D
hasta su límite elástico. Si la tuerca no se afloja, la tensión en el tornillo permanece como la
fuerza de precarga o de sujeción. Cuando se aprieta, el mecánico debe, si es posible, mantener
estacionaria la cabeza del tornillo y hacer girar la tuerca: de esta manera el cuerpo del tornillo
no sentirá el par de torsión de fricción de la rosca.
La cabeza de un tornillo hexagonal es un poco más delgada que la de un perno de cabeza
hexagonal. Las dimensiones de los tornillos de cabeza hexagonal se presentan en la tabla
A-30. Los tornillos de cabeza hexagonal se emplean en las mismas aplicaciones que los per-
nos y también en los que uno de los elementos que se sujetan está roscado. En la figura 8-10
hay otros tres estilos comunes de cabezas de tornillos.
Una variedad de estilos de cabezas de tornillos para metales se ilustra en la figura 8- 11.
Los tornillos para maquinaria de serie en pulgadas en general se encuentran disponibles en
tamaños que oscilan desde el número 0 hasta aproximadamente 3
8 pulg.
En la figura 8-12 se presentan varios estilos de tuercas hexagonales; sus dimensiones se
dan en la tabla A-31. El material de la tuerca debe seleccionarse con cuidado para igualar al
del perno. Durante el apriete, la primera rosca de la tuerca tiende a tomar toda la carga; pero
ocurre la fluencia, con algún endurecimiento debido al trabajo en frío que se presenta, y a la
larga la carga se divide en casi tres roscas de la tuerca. Por esta razón nunca deben reutilizarse
tuercas usadas con anterioridad, pues ello puede ser peligroso.
8-3 Sujetadores roscados 405
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Uniones: rigidez del sujetador
Cuando se desea realizar una conexión que se pueda desensamblar sin el empleo de métodos
destructivos y que sea suficientemente fuerte para resistir cargas externas de tensión, cargas
debidas a momentos y cargas de cortante, o una combinación de ellas, una buena solución
es la unión atornillada simple que tenga arandelas de acero endurecido. Una unión de ese
tipo puede resultar peligrosa, a menos que se diseñe de manera adecuada y la ensamble un
mecánico capacitado.
En la figura 8-13 se ilustra una sección en corte a través de una unión atornillada en
tensión. Note el espacio de holgura que proporcionan los agujeros de los pernos. Asimismo,
observe cómo los hilos de los pernos se extienden hacia el cuerpo de la conexión.
Figura 8-11
Tipos de cabezas usadas en
tornillos de máquina.
Figura 8-12
Tuercas hexagonales: a) vista
final, general; b) tuerca regular
con arandela; c) tuerca regular
biselada en ambos lados;
d) tuerca hendida con arandela;
e) tuerca hendida biselada en
ambos lados.
A
H
D
L
a) Cabeza redonda
A D
L
H
A
b) Cabeza plana
A
H
D
L
c) Cabeza cilíndrica ranurada
D
L
H
d) Cabeza ovalada
A
H
D
L
e) Cabeza estructural
W
H
D
L
g) Cabeza hexagonal (recortada)
80
a
82º
80
a
82º
R
A D
L
f ) Cabeza de sujeción
5° ±3°
W
H
D
L
h) Cabeza hexagonal (recalcada)
30 30
Aprox. pulg
W H
a) b) c) d) e)
30
H
H
30
H
1
64
Aprox. pulg
1
64
8-4
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Como se mencionó con anterioridad, el propósito del perno consiste en sujetar dos o
más partes. Al apretar la tuerca se estira el perno, y de esta manera se produce la fuerza de
sujeción, que se llama pre-tensión o precarga del perno. La cual existe en la conexión des-
pués de que la tuerca se apretó en forma apropiada, sin importar si se ejerce o no la fuerza
externa de tensión P.
Por supuesto, como los miembros se están sujetando, la fuerza de sujeción que produce
tensión en el perno induce compresión en los elementos.
En la figura 8-14 se muestra otra conexión sometida a tensión. En la unión se usan torni-
llos de cabeza roscados en uno de los elementos. Un método alternativo a este problema (de
no emplear una tuerca) sería utilizar birlos, que es una varilla roscada en ambos extremos. El
birlo primero se atornilla en el elemento inferior; luego, el elemento superior se posiciona y
se sujeta con arandelas y tuercas endurecidas. Los birlos se consideran permanentes, por lo
cual la unión se desensambla con sólo quitar la tuerca y la arandela. De esta manera, la parte
roscada del elemento inferior no se daña al reutilizar las roscas.
La relación del resorte es un límite según se expresa en la ecuación (4-1). En el caso
de un elemento elástico como un tornillo, como se indicó en la ecuación (4-2), es la relación
entre la fuerza aplicada al elemento y la deflexión que se produce por esa fuerza. Se emplea
la ecuación (4-4) y los resultados del problema 4-1 para determinar la constante de rigidez de
un sujetador en cualquier conexión atornillada.
El agarre l de una conexión consiste en el espesor total del material sujetado. En la figu-
ra 8-13 el agarre es la suma de los espesores de ambos elementos y ambas arandelas. En la
figura 8-14 el agarre efectivo se presenta en la tabla 8-7.
La rigidez de la parte de un perno o de un tornillo dentro de la zona de sujeción en gene-
ral consistirá en dos partes, la de la parte del cuerpo sin rosca y la de la parte roscada. Así, la
constante de rigidez del perno equivale a la rigidez de dos resortes en serie. Con los resultados
del problema 4-1, se encuentra que
1
k
=
1
k1
+
1
k2
k =
k1k2
k1 + k2
o bien (8-15)
Figura 8-13
Conexión con perno cargada a
tensión por las fuerzas P. Note el
empleo de dos arandelas. Aquí se
utilizó un método convencional
simplificado para representar la
rosca del perno. Observe cómo
la parte roscada se adentra en
el cuerpo de la unión, lo cual es
usual y deseable. El agarre de la
conexión es l.
Figura 8-14
Vista en sección de un recipiente
a presión cilíndrico. Se emplean
tornillos de cabeza hexagonal
para sujetar la cabeza del cilindro
al cuerpo. Observe el uso de un
sello. El agarre efectivo de la
conexión es l (vea la tabla 8-7).
P
P
P
P
l
l
8-4 Uniones: rigidez del sujetador 407
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Dado el diámetro del sujetador d y el paso p o el número de roscas por pulgada
Espesor de la arandela: t de la tabla A-32 o A-33
Espesor de la tuerca [sólo figura a)]: H de la tabla A-31
Longitud del agarre:
Para la figura a): l espesor de todo el material apretado
entre la cara del perno y la cara de la tuerca
Para la figura b): l ⫽
h ⫹ t2 /2, t2 d
h ⫹ d /2, t2 ≥ d
Longitud del sujetador (redondee usando la tabla A-17*):
Para la figura a): L l H
Para la figura b): L h 1.5d
Longitud roscada LT: Serie en pulgadas
LT ⫽
2d ⫹ 1
4
pulg, L ≤ 6 pulg
2d ⫹ 1
2
pulg, L 6 pulg
Serie métrica
LT ⫽
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2d ⫹ 6 mm,
2d ⫹ 12 mm,
2d ⫹ 25 mm,
L ≤ 125 mm, d ≤ 48 mm
125 L ≤ 200 mm
L 200 mm
Longitud de la parte sin rosca en el agarre: ld L LT
Longitud de la parte roscada en el agarre: lt l ld
Área de la parte sin rosca: Ad d2
/4
Área de la parte roscada: At, de la tabla 8-1 u 8-2
Rigidez del sujetador: kb ⫽
Ad At E
Adlt ⫹ Atld
l
L
ld
LT
h
t t2
t1
ld
d
l
LT
L
t
lt
H
lt
a) b)
d
Tabla 8-7
Procedimiento sugerido para determinar la rigidez del sujetador
* Los pernos y los tornillos de cabeza quizá no se fabriquen en todas las longitudes preferidas que se listan en la tabla A-17. Los suje-
tadores largos tal vez no estén disponibles en fracciones de pulgada o en longitudes en milímetros que terminen en un dígito distinto de
cero. Verifique con su proveedor de pernos la disponibilidad de éstos.
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para dos resortes en serie. De acuerdo con la ecuación (4-4), las relaciones del resorte de las
partes roscada y sin rosca en la zona de sujeción son, respectivamente,
kt =
At E
lt
kd =
Ad E
ld
(8-16)
donde At área de esfuerzo sometida a tensión (tablas 8-1, 8-2)
lt longitud de la parte roscada de agarre
Ad área del diámetro mayor del sujetador
ld longitud de la parte sin rosca en agarre
Sustituyendo las rigideces en la ecuación (8-15), se obtiene
kb =
Ad At E
Adlt + Atld
(8-17)
donde kb representa la rigidez efectiva estimada del perno o tornillo de cabeza en la zona
de sujeción. Para sujetadores cortos, por ejemplo el de la figura 8-14, el área sin rosca es
pequeña, por lo que puede emplearse la primera de las expresiones de la ecuación (8-16) para
encontrar kb. En el caso de sujetadores largos, el área roscada es relativamente pequeña, por lo
que puede usarse la segunda expresión de la ecuación (8-16). La tabla 8-7 también resulta útil.
Uniones: rigidez del elemento
En la sección anterior se determinó la rigidez del sujetador en la zona de sujeción. En ésta se
desea estudiar la rigidez de los elementos en dicha zona. Con objeto de aprender qué sucede
cuando la conexión ensamblada se somete a una carga externa de tensión es necesario cono-
cer ambas rigideces.
Puede haber más de dos elementos incluidos en el agarre del sujetador. En conjunto
actúan como resortes de compresión en serie y de aquí que la relación del resorte total de los
elementos sea
1
km
=
1
k1
+
1
k2
+
1
k3
+ · · · +
1
ki
(8-18)
Si uno de los elementos es un empaque suave, su rigidez relativa respecto de los otros ele-
mentos generalmente resulta tan pequeña que para todos los propósitos prácticos estos se
desprecian y sólo se considera la rigidez del empaque.
Si no hay empaque, la rigidez de los elementos no puede obtenerse con facilidad, excepto
mediante experimentación, porque la compresión se difunde entre la cabeza del perno y la
tuerca, así que el área no es uniforme. Sin embargo, hay algunos casos en los que el área sí
puede determinarse.
Ito2
ha usado técnicas de ultrasonido para calcular la distribución de la presión en la
interfaz del elemento. Los resultados demuestran que la presión permanece alta hasta aproxi-
madamente 1.5 radios del perno. Sin embargo, la presión disminuye mientras más alejada
esté del perno. Por ello, Ito sugiere emplear el método del cono de presión de Rotscher para
calcular la rigidez con un ángulo variable del cono. El método es muy complicado, por lo cual
aquí se eligió un método más simple con un ángulo fijo del cono.
En la figura 8-15 se ilustra la geometría general del cono con un ángulo de la mitad
del ápice ␣. Se usó un ángulo ␣ 45°, pero Little3
reporta que este sobrestima la rigidez
de sujeción. Cuando la carga se restringe a una zona anular de la cara de la arandela (acero
endurecido, hierro fundido o aluminio), el ángulo del ápice adecuado resulta más pequeño.
8-5
2
Y. Ito, J. Toyoda y S. Nagata, “Interface Pressure Distribution in a Bolt-Flange Assembly”, artículo ASME núm.77-
WA/DE-11, 1977.
3
R.E. Little, “Bolted Joints: How Much Give?”, en Machine Design, 9 de noviembre de 1967.
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Osgood4
reporta un intervalo de 25° ␣ 33° para la mayoría de las combinaciones. En
este libro se empleará ␣ 30°, excepto en los casos en que el material sea insuficiente para
permitir que existan los troncos.
En relación con la figura 8-15b), la elongación de un elemento del cono con espesor dx,
sometido a una fuerza de tensión P, a partir de la ecuación (4-3) es
dδ =
P dx
E A
(a)
El área del elemento está dada por
A = π

r2
o − r2
i

= π

x tan α +
D
2
2
−

d
2
2
(b)
= π

x tan α +
D + d
2

x tan α +
D − d
2

Sustituyendo en la ecuación (a) e integrando, se obtiene una contracción total de
δ =
P
π E
t
0
dx
[x tan α + (D + d)/2][x tan α + (D − d)/2]
(c)
Si se usa una tabla de integrales, se determina que el resultado es
δ =
P
π Ed tan α
ln
(2t tan α + D − d)(D + d)
(2t tan α + D + d)(D − d)
(d)
Así, la relación del resorte o rigidez de este tronco es
k =
P
δ
=
π Ed tan α
ln
(2t tan α + D − d)(D + d)
(2t tan α + D + d)(D − d)
(8-19)
Con ␣ 30°, esto se convierte en
k =
0.5774π Ed
ln
(1.155t + D − d)(D + d)
(1.155t + D + d)(D − d)
(8-20)
La ecuación (8-20), o la (8-19), debe resolverse por separado para cada tronco de la
unión. Después, las rigideces individuales se ensamblan para obtener km mediante la ecuación
(8-18).
Si los elementos de la unión tienen el mismo módulo de Young E con troncos espalda
con espalda simétricos, entonces actúan como dos resortes idénticos en serie. A partir de la
a) b)
t
y
t
D
x
y
l
2
d
dw
d
x
dx
␣
x
Figura 8-15
Compresión de un elemento con
las propiedades elásticas equi-
valentes representadas por un
tronco de un cono hueco. Aquí, l
representa la longitud del agarre.
4
C.C. Osgood, “Saving Weight on Bolted Joints”, en Machine Design, 25 de octubre de 1979.
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ecuación (8-18), se sabe que km k/2. Usando el agarre como l 2t y d como el diámetro de
la cara de la arandela, se encuentra que la relación del resorte de los elementos está dada por
km =
π Ed tan α
2 ln
(l tan α + dw − d) (dw + d)
(l tan α + dw + d) (dw − d)
(8-21)
El diámetro de la cara de la arandela es aproximadamente 50 por ciento mayor que el diá-
metro del sujetador en pernos estándar de cabeza hexagonal y tornillos con cabeza. Así, se
puede simplificar la ecuación (8-21) haciendo d l.5d. Si también se usa ␣ 30°, entonces
la ecuación (8-21) se escribe como
km =
0.5774π Ed
2 ln

5
0.5774l + 0.5d
0.5774l + 2.5d

(8-22)
Es fácil programar las ecuaciones numeradas en esta sección, por lo que se recomienda que
el lector lo haga. El tiempo que utilice en la programación le ahorrará muchas horas de apli-
cación laboriosa de las fórmulas.
Para ver cuán exacta es la ecuación (8-21), despéjela para km/Ed:
km
Ed
=
π tan α
2 ln

(l tan α + dw − d) (dw + d)
(l tan α + dw + d) (dw − d)

Al principio de la sección se recomendó el uso de ␣ 30° para elementos de acero
endurecido, hierro fundido o aluminio. Wileman, Choudury y Green5
realizaron un estudio
del elemento finito de este problema. Los resultados de la figura 8-16 concuerdan con la
Figura 8-16
Gráfica adimensional de la rigi-
dez contra la relación de aspecto
de los elementos de una unión
con pernos, donde se muestra la
precisión relativa de los métodos
de Rotscher, Mischke y Motosh,
comparada con un análisis del
elemento finito (AEF) que
realizaron Wileman, Choudury
y Green.
5
J. Wileman, M. Choudury y I. Green, “Computation of Member Stiffness in Bolted Connections”, en Trans. ASME,
J. Mech. Design, vol. 113, diciembre de 1991, pp. 432-437.
3.4
3.2
3.0
2.8
2.6
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
Rigidez
adimensional,
k
m
/
Ed
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9
Proporción dimensional, d/l
AEF Rotscher Mischke 45° Mischke 30° Motosh
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recomendación de ␣ 30°, ya que coinciden exactamente con la proporción d/l 0.4.
Además, ofrecieron un ajuste de la curva exponencial de la forma
km
Ed
= A exp(Bd/l) (8-23)
con las constantes A y B definidas en la tabla 8-8. Para caras estándares de la arandela y ele-
mentos del mismo material, la ecuación (8-23) proporciona un cálculo simple para la rigidez
del elemento km. A partir de estas condiciones, la ecuación (8-20) sigue siendo la base para
abordar el problema.
Tabla 8-8
Parámetros de la rigidez de
varios materiales
(Fuente: J. Wileman, M. Choudury
y I. Green, “Computation of Mem-
ber Stiffness in Bolted Connec-
tions”, en Trans. ASME, J. Mech.
Design, vol. 113, diciembre de
1991, pp. 432-437.)
Material
usado
Relación de
Poisson
Módulo de elasticidad,
A B
GPa Mpsi
Acero 0.291 207 30.0 0.787 15 0.628 73
Aluminio 0.334 71 10.3 0.796 70 0.638 16
Cobre 0.326 119 17.3 0.795 68 0.635 53
Hierro fundido
gris
0.211 100 14.5 0.778 71 0.616 16
Expresión
general
0.789 52 0.629 14
EJEMPLO 8-2 Como se muestra en la figura 8-17a, dos placas se sujetan mediante 5 pernos grado SAE 20
UNF de 1
2 pulg 11
2 pulg, cada uno con una arandela plana estándar de acero de 1
2 N.
a) Determinar la razón de resorte km del elemento si la placa superior es de acero y la placa
inferior es de hierro fundido gris.
b) Use el método de los troncos cónicos para determinar la razón de resorte km del elemento
si las dos placas son de acero.
c) Utilice la ecuación (8-23) para determinar la razón de resorte km del elemento si las dos
placas son de acero. Compare los resultados con los del inciso (b).
d) Determine la razón de resorte kb del perno.
0.095
3
4
1
2 0.6725
0.6725
b)
a)
1.437
0.75
0.0775
1.527
Figura 8-17
Dimensiones en pulgadas.
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Con base en la tabla A-32, el espesor de una arandela simple estándar de 1
2 N es 0.095 pulg.
a) Como se muestra en la figura 8-17b, los troncos se extienden hasta la mitad de la distan-
cia a la junta.
1
2
(0.5 + 0.75 + 0.095) = 0.6725 SXOJ
La distancia entre la línea de la junta y la línea punteada de los troncos es 0.6725 0.5
0.095 0.0775 pulg. Por lo tanto, los troncos superiores consisten en la arandela de acero,
la placa de acero, y 0.0775 pulg del acero fundido. Como la arandela y la placa superior son
de acero con E 30(106
) psi, que puede considerarse como un tronco único de 0.595 de
espesor. El diámetro exterior del tronco de los elementos de acero en la interfaz de la junta es
de 0.75 2(0.595) tan 30° 1.437 pulg El diámetro exterior en el punto medio de toda la
junta es de 0.75 2(0.6725) tan 30° 1.527 pulg. Con base en la ecuación (8-20), la razón
de resorte del acero es
k1 =
0.5774π(30)(106
)0.5
ln

[1.155(0.595) + 0.75 − 0.5](0.75 + 0.5)
[1.155(0.595) + 0.75 + 0.5](0.75 − 0.5)
= 30.80(106
) lbf/pulg
Para el tronco superior de hierro fundido
k2 =
0.5774π(14.5)(106
)0.5
ln

[1.155(0.0775) + 1.437 − 0.5](1.437 + 0.5)
[1.155(0.0775) + 1.437 + 0.5](1.437 − 0.5)
= 285.5(106
) lbf/pulg
Para el tronco inferior de hierro fundido
k3 =
0.5774π(14.5)(106
)0.5
ln

[1.155(0.6725) + 0.75 − 0.5](0.75 + 0.5)
[1.155(0.6725) + 0.75 + 0.5](0.75 − 0.5)
= 14.15(106
) lbf/pulg
Los tres troncos están en serie, por lo que a partir de la ecuación (8-18)
1
km
=
1
30.80(106)
+
1
285.5(106)
+
1
14.15(106)
Esto da como resultado km 9.378 (106
) lbf/pulg.
b) Si toda la junta es de acero, la ecuación (8-22) con l 2 (0.6725) 1.345 pulg da
km =
0.5774π(30.0)(106
)0.5
2 ln

5

0.5774(1.345) + 0.5(0.5)
0.5774(1.345) + 2.5(0.5)
= 14.64(106
) lbf/pulg.
c) A partir de la tabla 8-8, A 0.787 15, B 0.628 73. La ecuación (8-23) da
km = 30(106
)(0.5)(0.787 15) exp[0.628 73(0.5)/1.345] = 14.92(106
) lbf/pulg
En este caso, la diferencia entre los resultados para las ecuaciones (8-22) y (8-23) es inferior
al 2 por ciento.
d) Si se sigue el procedimiento de la tabla 8-7, la longitud roscada de un perno de 0.5 pulg
es LT 2(0.5) 0.25 1.25 pulg. La longitud de la parte sin rosca es ld 1.5 1.25
0.25 pulg. La longitud de la parte sin rosca en el agarre es lt 1.345 – 0.25 1.095
pulg. El área de mayor diámetro es Ad ( / 4)(0.52
) 0.196 3 pulg2
. En la tabla 8-2, el
área de esfuerzo en tensión es At 0.1599 pulg2
. De la ecuación (8-17)
kb =
0.196 3(0.159 9)30(106
)
0.196 3(1.095) + 0.159 9(0.25)
= 3.69(106
) lbf/pulg
Solución
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Respuesta
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Resistencia del perno
En las normas para pernos, la resistencia se especifica mediante cantidades ASTM mínimas,
la resistencia mínima de prueba o la carga mínima de prueba y la resistencia mínima de
tensión. La carga de prueba es la carga máxima (fuerza) que un perno puede soportar sin
sufrir una deformación permanente. La resistencia de prueba está dada por el cociente de la
carga de prueba y el área de esfuerzo a tensión. Por ello, la resistencia de prueba corresponde
aproximadamente al límite proporcional y a una deformación permanente de 0.0001 pulg en
el sujetador (primera desviación que se puede medir a partir del comportamiento elástico). En
las tablas 8-9, 8-10 y 8-11 se proporcionan especificaciones de resistencia mínima para los
pernos de acero. El valor de la resistencia de prueba media, de la resistencia a tensión media
y de las desviaciones estándares correspondientes no forman parte de los códigos de especifi-
cación, por lo que la determinación de estos valores es responsabilidad del diseñador, tal vez
mediante ensayos de laboratorio, antes de diseñar una especificación confiable.
Las especificaciones SAE se encuentran en la tabla 8-9. Los grados de los pernos se
numeran de acuerdo con las resistencias a la tensión, utilizando decimales para señalar varia-
ciones al mismo nivel de resistencia. Los pernos y tornillos se encuentran disponibles en
8-6
Grado
SAE
núm.
Intervalo de
tamaños,
inclusive, pulg
Resistencia de
prueba míni-
ma,* kpsi
Resistencia
mínima a la
tensión,* kpsi
Resistencia
mínima a la
fluencia,* kpsi Material
Marca en la
cabeza
1 1
4 a 1
1
2
33 60 36 Acero de bajo o
medio carbono
2 1
4 a
3
4
7
8 a 1
1
2
55
33
74
60
57
36
Acero de bajo o
medio carbono
4 1
4 a 1
1
2
65 115 100 Acero de medio
carbono, estirado
en frío
5 1
4 a 1
1
1
8 a 1
1
2
85
74
120
105
92
81
Acero de medio
carbono, T y R
5.2 1
4 a 1 85 120 92 Acero martensítico
de bajo carbono,
T y R
7 1
4 a 1
1
2
105 133 115 Acero de aleación
de medio carbono,
T y R
8 1
4 a 1
1
2
120 150 130 Acero de aleación
de medio carbono
T y R
8.2 1
4 a 1 120 150 130 Acero martensítico
de bajo carbono,
T y R
* Las resistencias mínimas son resistencias que exceden 99 por ciento de los sujetadores.
Tabla 8-9
Especificaciones SAE para pernos de acero
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Designa-
ción ASTM
núm.
Intervalo de
tamaños,
inclusive, pulg
Resistencia de
prueba míni-
ma,* kpsi
Resistencia
mínima a la
tensión,* kpsi
Resistencia
mínima a la
fluencia,* kpsi Material
Marca en
la cabeza
A307 1
4 a 1
1
2
33 60 36 Acero de bajo
carbono
A325
tipo 1
1
2 a 1
1
1
8 a 1
1
2
85
74
120
105
92
81
Acero de medio
carbono, T y R A325
A325
tipo 2
1
2 a 1
1
1
8 a 1
1
2
85
74
120
105
92
81
Acero martensítico
de bajo carbono,
T y R
A325
A325
tipo 3
1
2 a 1
1
1
8 a 1
1
2
85
74
120
105
92
81
Acero no
temperizado,
T y R
A325
A354
grado BC
1
4 a 2
1
2
2
3
4 a 4
105
95
125
115
109
99
Acero aleado,
T y R BC
A354
grado BD
1
4 a 4 120 150 130 Acero aleado,
T y R
A449 1
4 a 1
1
1
8 a 1
1
2
1
3
4 a 3
85
74
55
120
105
90
92
81
58
Acero de medio
carbono, T y R
A490
tipo 1
1
2 a 1
1
2
120 150 130 Acero aleado,
T y R A490
A490
tipo 3
1
2 a 1
1
2
120 150 130 Acero no
temperizado,
T y R
A490
* Las resistencias mínimas son las resistencias que exceden 99 por ciento de los sujetadores.
Tabla 8-10
Especificaciones ASTM para pernos de acero
todos los grados listados. Los birlos, en grados 1, 2, 4, 5, 8 y 8.1. El grado 8.1 no se incluye
en la lista.
Las especificaciones ASTM se presentan en la tabla 8-10. Las roscas ASTM son más
cortas porque la ASTM está relacionada con estructuras; por lo general las conexiones estruc-
turales se someten a cortante y la longitud disminuida de la rosca proporciona más área del
cuerpo.
Las especificaciones para sujetadores métricos se presentan en la tabla 8-11.
Vale la pena mencionar que todos los pernos con especificación de grado que se fabrican
en Estados Unidos llevan, sobre su cabeza, una marca o un logotipo del fabricante, además de
la marca de grado, todo lo cual confirma que el perno cumple o excede las especificaciones.
Si no se encuentran esas marcas, quizás el perno sea de otro origen; para esa clase de pernos
no existe la obligación de cumplir con las especificaciones.
8-6 Resistencia del perno 415
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* La longitud de la rosca de pernos y tornillos de cabeza es
donde L es la longitud del perno. La longitud de la rosca de pernos estructurales es ligeramente menor que la indicada.
†
Las resistencias mínimas son las resistencias que exceden 99 por ciento de los sujetadores.
Clase de
propiedad
Intervalo de
tamaños,
inclusive
Resistencia de
prueba míni-
ma,†
MPa
Resistencia
mínima a la
tensión,†
MPa
Resistencia
mínima a la
fluencia,†
MPa Material
Marca en
la cabeza
4.6 M5-M36 225 400 240 Acero de bajo o
medio carbono 4.6
4.8 M1.6-M16 310 420 340 Acero de bajo o
medio carbono 4.8
5.8 M5-M24 380 520 420 Acero de bajo o
medio carbono 5.8
8.8 M16-M36 600 830 660 Acero de medio
carbono, T y R 8.8
9.8 M1.6-M16 650 900 720 Acero de medio
carbono, T y R 9.8
10.9 M5-M36 830 1 040 940 Acero martensítico
de bajo carbono,
T y R
10.9
12.9 M1.6-M36 970 1 220 1 100 Acero aleado, T y R
12.9
Tabla 8-11
Clases métricas de propiedad mecánica de pernos, tornillos y birlos de acero*
L T =
⎧
⎨
⎩
2d + 6
2d + 12
2d + 25
L ≤ 125
125 L ≤ 200
L 200
Los pernos que son sometidos a carga axial de fatiga fallan en el filete debajo de la cabe-
za, en la terminación de la rosca y en la primera rosca acoplada en la tuerca. Si el perno tiene
un hombro estándar debajo de la cabeza, un valor de Kf de 2.1 a 2.3 y este filete del hombro
está protegido de mellas y ralladuras mediante una arandela. Si la terminación de la rosca
tiene un ángulo del semicono de 15° o menor, el esfuerzo resulta mayor en la primera ros-
ca acoplada en la tuerca. Los pernos se dimensionan mediante el examen de la carga en el
plano de la cara de la arandela de la tuerca, que es la parte más débil del perno si y sólo si
se satisfacen las condiciones anteriores (la protección de la arandela del filete del hombro y
terminación de la rosca 15°). La falta de atención a este requisito provoca una falla por
fatiga de 15 por ciento debajo de la cabeza, 20 por ciento en la terminación de la rosca y 65
por ciento donde el diseñador enfoca su atención. No vale la pena concentrarse en el plano
de la cara de la arandela de la tuerca si ésta no es la ubicación más débil.
Las tuercas se gradúan de modo que se puedan acoplar con su grado correspondiente del
perno. El propósito de la tuerca consiste en hacer que sus hilos se flexionen para distribuir la
carga del perno de manera más uniforme en ella. Las propiedades de la tuerca se controlan a
efecto de lograr este objetivo. Su grado debe ser igual al grado del perno.
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Uniones a tensión: la carga externa
Ahora, se debe considerar qué sucede cuando se aplica una carga externa de tensión P a una
unión con pernos, como en la figura 8-13. Por supuesto, se debe suponer que la fuerza de
sujeción, a la que se le llama precarga Fi, se ha aplicado de manera correcta apretando la
tuerca antes de aplicar P. Se emplea la nomenclatura siguiente:
Fi precarga
Ptotal carga externa de tensión total aplicada a la unión
P carga externa de tensión
Pb parte de P tomada por el perno
Pm parte de P tomada por los elementos
Fb Pb Fi carga resultante en el perno
Fm Pm Fi carga resultante en los elementos
C fracción de la carga externa P soportada por el perno
1 C fracción de la carga externa P que soportan los elementos
N Número de pernos en la unión
Si N pernos comparten en forma equivalente la carga externa total, entonces
P = Ptotal/N (a)
La carga P es de tensión y causa que la conexión se alargue, o estire, a través de una distancia
. Dicha elongación puede relacionarse con la rigidez, recordando que k es la fuerza dividida
entre la deflexión. Así
δ =
Pb
kb
δ =
Pm
km
y (b)
o bien
Pm = Pb
km
kb
(c)
Como P Pb Pm, se tiene
Pb =
kb P
kb + km
= C P (d)
y
Pm = P − Pb = (1 − C)P (e)
donde
C =
kb
kb + km
(f )
se llama la constante de rigidez de la unión. La carga resultante en el perno es
Fb Pb Fi CP Fi Fm 0 (8-24)
y la carga resultante en los elementos conectados es
Fm Pm Fi (1 C)P Fi Fm 0 (8-25)
Por supuesto, dichos resultados sólo son válidos si permanece alguna carga de sujeción en los
elementos, lo cual se indica por el calificador de las ecuaciones.
La tabla 8-12 se incluye para proporcionar cierta información de los valores relativos de
las rigideces encontradas. El agarre sólo contiene dos elementos, ambos de acero y sin aran-
delas. Las relaciones C y 1 C representan los coeficientes de P en las ecuaciones (8-24) y
8-7
8-7 Uniones a tensión: la carga externa 417
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20/03/12 20:10

(8-25), respectivamente. Describen la proporción de la carga externa tomada por el perno y
por los elementos. En todos los casos los elementos toman más de 80 por ciento de la carga
externa. Piense cuán importante es esta cuestión cuando se presenta una carga por fatiga.
También note que hacer el agarre más largo provoca que los elementos tomen un porcentaje
aún mayor de la carga externa.
Relación del par de torsión del perno
con la tensión del perno
Después de haber aprendido que una precarga alta es muy deseable en conexiones importan-
tes con pernos, se deben considerar los medios para asegurar que la precarga en realidad se
desarrolle cuando se ensamblen las partes.
Silalongitudtotaldelpernorealmentepuedemedirseconunmicrómetrocuandoseensam-
bla, la elongación del perno, debida a la precarga Fi se calcula con la fórmula Fil/(AE).
Luego, la tuerca simplemente se aprieta hasta que el perno se alarga a través de la distancia
, lo cual asegura que se logre la precarga deseada.
Por lo general, la elongación de un tornillo no se puede medir, porque el extremo roscado
a menudo se encuentra en un agujero ciego. También en muchos casos es impráctico medir la
elongación del perno. En tales casos debe estimarse el par de torsión de la llave que se requie-
re para desarrollar la precarga especificada. Por ello, se utiliza una llave dinamométrica, un
dispositivo neumático de impacto o el método de giro de la tuerca.
La llave dinamométrica tiene una carátula incorporada que indica el par de torsión apro-
piado.
En las llaves de impacto, la presión del aire se ajusta de manera que la llave se detiene
cuando se obtiene el par de torsión adecuado; en otras llaves el aire se corta de manera auto-
mática al alcanzar el par de torsión deseado.
El método de giro de la tuerca requiere que primero se defina el significado de apriete
firme. La condición de apriete firme se define como el apriete que se logra con algunos gol-
pes de una llave de impacto, o bien es el esfuerzo total realizado por una persona con una
llave ordinaria. Cuando se obtiene la condición de ajuste firme, todos los giros adicionales
desarrollan tensión útil en el perno. El método de giro de la tuerca requiere que se calcule el
número fraccional de vueltas necesario para desarrollar la precarga requerida, a partir de la
condición de apriete firme. Por ejemplo, en el caso de pernos estructurales pesados de cabeza
hexagonal, la especificación de giro de la tuerca establece que ésta se debe girar un mínimo
de 180° a partir de la condición de apriete firme bajo condiciones óptimas. Observe que ésta
también es casi la rotación correcta de los birlos de una rueda de un automóvil de pasajeros.
Los problemas 8-15 al 8-17 ilustran el método.
Agarre del
perno, pulg
Rigideces, M lbf/pulg
1 C
kb km C
2 2.57 12.69 0.168 0.832
3 1.79 11.33 0.136 0.864
4 1.37 10.63 0.114 0.886
Tabla 8-12
Cálculo de las rigideces
del perno y del elemento.
Elementos de acero sujetos
mediante un perno de acero
a
1
2 pulg-13 NC con
C =
kb
kb + km
8-8
* Valor medio Fi 34.3 kN. Desviación estándar 4.91 kN.
Tabla 8-13
Distribución de la precarga
Fi de 20 pruebas de pernos
no lubricados con apriete a
90 N · m
23.6, 27.6, 28.0, 29.4, 30.3, 30.7, 32.9, 33.8, 33.8, 33.8,
34.7, 35.6, 35.6, 37.4, 37.8, 37.8, 39.2, 40.0, 40.5, 42.7
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Aunque los coeficientes de fricción varían mucho, se puede obtener una buena estima-
ción del par de torsión necesario para producir una precarga dada mediante la combinación
de las ecuaciones (8-5) y (8-6):
T =
Fi dm
2

l + π f dm sec α
πdm − f l sec α

+
Fi fcdc
2
(a)
donde dm es el promedio de los diámetros mayor y menor. Como tan l/ dm, se divide el
numerador y el denominador del primer término entre dm y se obtiene
T =
Fi dm
2

tan λ + f sec α
1 − f tan λ sec α

+
Fi fcdc
2
(b)
El diámetro de la cara de la arandela de una tuerca hexagonal es el mismo que el ancho entre
caras e igual a 1
1
2 veces el tamaño nominal. Por lo tanto, el diámetro medio del collarín está
dado por dc (d 1.5d)/2 l.25d. Ahora, la ecuación (b) puede acomodarse para obtener
T =

dm
2d

tan λ + f sec α

+ 0.625 fc

Fi d (c)
Luego se define un coeficiente del par de torsión K como el término entre paréntesis rectan-
gulares y, por lo tanto,
K =

dm
2d

tan λ + f sec α

+ 0.625 fc (8-26)
Entonces la ecuación (c) ahora puede escribirse como
T KFi d (8-27)
El coeficiente de fricción depende de la uniformidad de la superficie, de la precisión y
del grado de lubricación. En promedio, tanto f como fc son casi iguales a 0.15. El hecho inte-
resante acerca de la ecuación (8-26) es que K
.
0.20 para f fc 0.15, sin que importe el
tamaño de los pernos que se empleen o si las roscas son gruesas o finas.
Blake y Kurtz publicaron numerosos resultados sobre ensayos del apriete de pernos.6
Cuando se someten sus datos a un análisis estadístico, se logra aprender algo acerca de la
Tabla 8-14
Distribución de la precarga Fi de 10 pruebas de pernos lubricados con apriete a 90 N · m
Tabla 8-15
Factores del par de torsión K
para su empleo con la ecua-
ción (8-27)
6
J.C. Blake y H.J. Kurtz, “The Uncertainties of Measuring Fastener Preload”, en Machine Design, vol. 37, 30 de
septiembre de 1965. pp. 128-131.
30.3, 32.5, 32.5, 32.9, 32.9, 33.8, 34.3, 34.7, 37.4, 40.5
* Valor medio Fi 34.18 kN. Desviación estándar, 2.88 kN.
Condición del perno K
Sin recubrimiento, acabado negro 0.30
Galvanizado 0.20
Lubricado 0.18
Con recubrimiento de cadmio 0.16
Con Anti-Seize Bowman 0.12
Con tuercas Bowman-Grip 0.09
8-8 Relación del par de torsión del perno con la tensión del perno 419
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distribución de los coeficientes del par de torsión y de la precarga resultante. Blake y Kurtz
determinaron la precarga en un gran número de pernos lubricados y sin lubricación, cuyo
tamaño es de
1
2 pulg-20 UNF, sometidos a un par de torsión de 800 lbf·pulg, lo que corres-
ponde aproximadamente a un perno M12 1.25 sometido a un par de torsión de 90 N·m.
Los análisis estadísticos de los dos grupos de pernos, convertidos a unidades SI, se presentan
en las tablas 8-13 y 8-14.
Primero se observa que ambos grupos tienen casi la misma precarga media: 34 kN. Los
pernos no lubricados presentan una desviación estándar de 4.9 kN y un CDV de alrededor de
0.15. Los pernos lubricados tienen una desviación estándar de 3 kN y un CDV de cerca
de 0.9.
Las medias que se obtuvieron de las dos muestras son casi idénticas, aproximadamente
34 kN; mediante la ecuación (8-27) se tiene que, en ambas muestras, K 0.208.
Bowman Distribution, un gran fabricante de sujetadores, recomienda los valores que se
presentan en la tabla 8-15. En este libro se aplicarán dichos valores y se usará K 0.2 cuando
no se indique la condición del perno.
EJEMPLO 8-3
Solución
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Un perno 3
4 pulg-16 UNF 21
2 pulg SAE grado 5 está sometido a una carga P de 6 kip en
una unión a tensión. La tensión inicial es Fi 25 kip. La rigidez del perno y la unión son kb
6.50 y km 13.8 Mlbf/pulg, respectivamente.
a) Determine los esfuerzos de precarga y de carga por servicio en el perno. Compárelos con
la resistencia de prueba mínima SAE del perno.
b) Mediante la ecuación (8-27), especifique el par de torsión necesario para desarrollar la
precarga.
c) Especifique el par de torsión necesario para desarrollar la precarga, usando la ecuación
(8-26) con f fc 0.15.
De la tabla 8-2, At 0.373 pulg2
.
a) El esfuerzo de precarga es
σi =
Fi
At
=
25
0.373
= 67.02 kpsi
La constante de rigidez es
C =
kb
kb + km
=
6.5
6.5 + 13.8
= 0.320
De la ecuación (8-24), el esfuerzo bajo la carga de servicio es
σb =
Fb
At
=
C P + Fi
At
= C
P
At
+ σi
= 0.320
6
0.373
+ 67.02 = 72.17 kpsi
De la tabla 8-9, la resistencia de prueba mínima SAE del perno es Sp 85 kpsi. Los esfuerzos
de precarga y de carga por servicio son, respectivamente, 21 y 15 por ciento menos que la
resistencia de prueba.
b) De la ecuación (8-27), el par de torsión necesario para lograr la precarga es
T KFid 0.2(25)(103
)(0.75) 3 750 lbf · pulg
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c) El diámetro menor puede determinarse a partir del área menor de la tabla 8-2. Así dr
√
4Ar /π =
√
4(0.351)/π = 0.6685 pulg. Por lo tanto, el diámetro medio es dm (0.75
0.6685)/2 0.7093 pulg. El ángulo de avance es
λ = tan−1 l
πdm
= tan−1 1
πdm N
= tan−1 1
π(0.7093)(16)
= 1.6066◦
Para ␣ 30°, la ecuación (8-26) da
T =

0.7093
2(0.75)

tan 1.6066◦
+ 0.15(sec 30◦
)
1 − 0.15(tan 1.6066◦)(sec 30◦)

+ 0.625(0.15)

25(103
)(0.75)
= 3.551 lbf · pulg
que es 5.3 por ciento menor que el valor que se encontró en el inciso b).
Uniones a tensión cargadas en forma estática
con precarga
Las ecuaciones (8-24) y (8-25) representan las fuerzas en una unión con perno con precarga.
El esfuerzo de tensión en el perno puede encontrarse como en el ejemplo 8-3 a partir de
σb =
Fb
At
=
CP + Fi
At
(a)
Por lo tanto, el factor de seguridad contra la fluencia por esfuerzo estático, superior a la
resistencia de prueba, es
np =
Sp
σb
=
Sp
(CP + Fi )/At
(b)
o bien
np =
Sp At
CP + Fi
(8-28)
Dado que es común cargar un perno cerca de la resistencia de prueba, el factor de seguridad
contra la fluencia no suele ser mucho mayor que la unidad. Otro indicador de fluencia que se
utiliza en ocasiones, es un factor de carga que se aplica sólo a la carga P como una protección
contra las sobrecargas. Al aplicar un factor de carga como éste a la carga P de la ecuación (a),
y al igualarla con la resistencia de prueba se obtiene
CnL P + Fi
At
= Sp (c)
Si se despeja el factor de carga resulta
nL =
Sp At − Fi
CP
(8-29)
También es esencial para obtener una junta segura, que la carga externa sea más pequeña que
la necesaria para causar que la unión se separe. Si ocurre la separación, entonces se impondrá
toda la carga externa sobre el perno. Sea P0 el valor de la carga externa que causaría la sepa-
ración de la unión. En la separación, Fm 0 en la ecuación (8-25), y
(1 – C )P0 – Fi 0 (d)
8-9
8-9 Uniones a tensión cargada en forma estática con precarga 421
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Considere que el factor de seguridad contra la separación de la unión es
n0 =
P0
P
(e)
Sustituyendo P0 n0P en la ecuación (c), se encuentra que
n0 =
Fi
P(1 − C)
(8-30)
como un factor de carga que protege contra la separación de la unión.
En la figura 8-18 se presenta el diagrama del esfuerzo-deformación de un material de
buena calidad para fabricar pernos. Observe que no hay un punto de fluencia bien definido
y que el diagrama progresa de manera uniforme hasta la fractura, lo que corresponde a la
resistencia a la tensión. Esto significa que no importa cuánta precarga se aplique al perno,
retendrá su capacidad de soporte de carga. Esto es lo que mantiene firme al perno y determi-
na la resistencia de la unión. La pretensión es el “músculo” de la unión y su magnitud está
determinada por la resistencia del perno. Si no se emplea toda la resistencia del perno para
desarrollar la pretensión, se desperdicia dinero y la unión es más débil.
Los pernos de buena calidad se pueden precargar en el intervalo plástico para que desa-
rrollen más resistencia. Una fracción del par de torsión del perno usado para el apriete pro-
duce torsión, lo que incrementa el esfuerzo principal de tensión. Sin embargo, esta torsión se
mantiene sólo por la fricción de la cabeza del perno y por la tuerca; con el tiempo se relaja y
disminuye un poco la tensión en el perno. Así, como una regla, un perno se fracturará durante
el apriete, o no se fracturará.
Sobre todo, no confíe mucho en el par de torsión de la llave de torsión, ya que no es un
buen indicador de precarga. Se debe utilizar, cuando sea posible, la elongación real del perno,
en especial con carga por fatiga. De hecho, si se requiere una confiabilidad alta del diseño,
entonces la precarga siempre se determinará mediante la elongación del perno.
Las recomendaciones de Russell, Burdsall Ward Inc. (RBW) con respecto a la pre-
carga son 60 kpsi para pernos SAE grado 5 para conexiones no permanentes y que los pernos
A325 (equivalentes a SAE grado 5) que se emplean en aplicaciones estructurales se aprieten
hasta la carga de prueba o una mayor (85 kpsi hasta un diámetro de 1 pulg).7
Bowman8
recomienda una precarga de 75 por ciento de la carga de prueba, que es casi la misma que la
Figura 8-18
Diagrama usual esfuerzo-
deformación de materiales para
fabricar pernos que presentan una
resistencia de prueba Sp, resisten-
cia a la fluencia Sy y resistencia
última a la tensión Sut.
Sy
Sut
Sp
Esfuerzo
Deformación
7
Russell, Burdsall Ward Inc., Helpful Hints for Fastener Design and Application, Mentor, Ohio, 1965, p. 42.
8
Bowman Distribution-Barnes Group, Fastener Facts, Cleveland, 1985, p. 90.
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recomendación RBW para pernos reutilizados. Con base en estas directrices, se recomienda
tanto para la carga estática como para la de fatiga que se use lo siguiente para la precarga:
Fi =

0.75Fp
0.90Fp
para conexiones no permanentes, sujetadores reutilizados
para conexiones permanentes
(8-31)
donde Fp es la carga de prueba, que se obtiene mediante la ecuación
Fp AtSp (8-32)
Aquí Sp es la resistencia de prueba que se obtiene de las tablas 8-9 a 8-11. Para otros mate-
riales, un valor aproximado es Sp 0.85Sy. Es necesario tener mucho cuidado de no emplear
un material suave en un sujetador roscado. Para pernos de acero de alta resistencia que se
utilizan como conectores de acero estructural, si se emplean métodos avanzados de apriete,
se necesita apretar hasta la fluencia.
Se puede ver que las recomendaciones RBW sobre la precarga están de acuerdo con
lo que se ha analizado en este capítulo. Los propósitos del desarrollo fueron proporcionar al
lector la perspectiva para apreciar las ecuaciones (8-31) y darle una metodología con la cual
manejar casos de manera más específica que los que se presentan en las recomendaciones.
EJEMPLO 8-4
Solución
En la figura 8-19 se presenta la sección transversal de un recipiente a presión de hierro fun-
dido grado 25. Se debe usar un total de N pernos para resistir una fuerza de separación de
36 kip.
a) Determine kb, km y C.
b) Encuentre el número de pernos que se requieren para un factor de carga de 2 donde los
pernos pueden reutilizarse cuando se separe la unión.
c) Con el número de pernos obtenido en el inciso b), determine el factor de carga alcanzado
para la sobrecarga, el factor de seguridad contra la fluencia y el factor de carga para la
separación de la unión.
a) El agarre es l 1.50 pulg. A partir de la tabla A-31, el espesor de la tuerca es 35
64 pulg. Si
se agregan dos roscas más allá de la tuerca de 2
11 pulg se obtiene una longitud del perno de
L =
35
64
+ 1.50 +
2
11
= 2.229 pulg
De la tabla A-17 el siguiente tamaño de perno fraccionario es L 21
4 pulg. De la ecuación
(8-13), la longitud de rosca es LT 2(0.65) 0.25 1.50 pulg. Por ello, la longitud de la
parte no roscada en el agarre es ld 2.25 1.50 0.75 pulg. La longitud roscada en el aga-
pulg
3
4
pulg
3
4
Perno de cabeza hexagonal terminado,
grado 5, pulg-11 UNC ⫻ 2 pulg.
5
8
1
4
Hierro fundido
grado 25
Figura 8-19
8-9 Uniones a tensión cargada en forma estática con precarga 423
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rre es lt l ld 0.75 pulg. De la tabla 8-2, At 0.226 pulg2
. El área del diámetro mayor
es Ad p(0.625)2
/4 0.3068 pulg2
. Entonces, la rigidez del perno es
kb =
Ad At E
Adlt + Atld
=
0.3068(0.226)(30)
0.3068(0.75) + 0.226(0.75)
= 5 21 Mlbf/pulg
De la tabla A-24, para el hierro fundido núm. 25 se debe usar E 14 Mpsi. La rigidez de los
elementos, de la ecuación (8-22), es
km =
0.5774π Ed
2 ln

5
0.5774l + 0.5d
0.5774l + 2.5d
=
0.5774π(14)(0.625)
2 ln

5
0.5774 (1.5) + 0.5 (0.625)
0.5774 (1.5) + 2.5 (0.625)

= 8.95 Mlbf/pulg
Si está usando la ecuación (8-23), de la tabla 8-8, A 0.778 71 y B 0.616 16, y
km = Ed A exp(Bd/l)
= 14(0.625)(0.778 71) exp[0.616 16(0.625)/1.5]
= 8.81 Mlbf/pulg
que es sólo 1.6 por ciento menor que el resultado anterior.
Del primer cálculo de km, la constante de rigidez C es
C =
kb
kb + km
=
5.21
5.21 + 8.95
= 0.368
b) De la tabla 8-9, Sp 85 kpsi. Después, mediante las ecuaciones (8-31) y (8-32), se
encuentra que la precarga recomendada es
Fi 0.75AtSp 0.75(0.226)(85) 14.4 kip
En el caso de N pernos, la ecuación (8-29) puede escribirse
nL =
Sp At − Fi
C(Ptotal/N )
(1)
o bien
N =
CnL Ptotal
Sp At − Fi
=
0.368(2)(36)
85(0.226) − 14.4
= 5.52
Deben usarse seis pernos para proporcionar el factor de carga especificado.
c) Con seis pernos, el factor de carga que realmente se alcanza es
nL =
85(0.226) − 14.4
0.368(36/6)
= 2.18
A partir de la ecuación (8-28), el factor de seguridad contra la fluencia es
np =
Sp At
C(Ptotal/N) + Fi
=
85(0.226)
0.368(36/6) + 14.4
= 1.16
Con base en la ecuación (8-30), el factor de carga que protege contra la separación de la
unión es
n0 =
Fi
(Ptotal/N)(1 − C)
=
14.4
(36/6)(1 − 0.368)
= 3.80
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Respuesta
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Uniones con empaque
Si se utiliza un empaque completo en la unión, la presión en el empaque p se determina divi-
diendo la fuerza en los elementos entre el área de la unión por perno. Así, en el caso de N
pernos,
p = −
Fm
Ag/N
(a)
Con un factor de carga n, la ecuación (8-25) puede escribirse como
Fm (1 – C)nP - Fi (b)
Sustituyendo esto en la ecuación (a) se obtiene la presión del empaque como
p = [Fi − nP(1 − C)]
N
Ag
(8-33)
En uniones con empaque completo resulta importante la uniformidad de la presión en el
empaque. Para mantener la adecuada uniformidad, los pernos adyacentes no se deben colocar
con una separación mayor de seis diámetros nominales en el círculo de pernos. Para mantener
un espacio libre para que entre la llave, los pernos deben colocarse al menos con una separa-
ción de tres diámetros. Una regla aproximada del espaciamiento de los pernos alrededor del
círculo de pernos establece que
3 ≤
π Db
Nd
≤ 6 (8-34)
donde Db es el diámetro del círculo de pernos y N es el número de pernos.
Carga por fatiga de uniones a tensión
Las uniones con pernos cargadas a tensión sometidas a la acción de la fatiga pueden analizar-
se de manera directa por medio de los métodos del capítulo 6. En la tabla 8-16 se muestran los
factores promedio de la reducción de la resistencia a la fatiga del filete ubicado debajo de la
cabeza del perno y también en el inicio de las roscas del cuerpo del perno. Dichos factores ya
están corregidos y toman en cuenta la sensibilidad a la muesca y al acabado superficial. Los
diseñadores deben estar conscientes de que tal vez se originen situaciones en las cuales sería
recomendable investigar estos factores de manera más minuciosa, puesto que en la tabla
sólo se dan valores promedio. Peterson9
hace notar que la distribución de las fallas comunes
de pernos está aproximadamente 15 por ciento por debajo de la cabeza, 20 por ciento al final de
la rosca y 65 por ciento en la rosca, en la cara de la tuerca.
El empleo de roscas laminadas es el método predominante de formación de roscas en
sujetadores de tornillo, donde se puede aplicar la tabla 8-16. En el laminado de roscas, el
diseñador desconoce la cantidad de trabajo en frío y de endurecimiento por deformación; por
lo tanto, en la tabla 8-17 se da la resistencia a la fatiga axial completamente corregida (inclu-
yendo Kf). En el caso de roscas cortadas, son útiles los métodos descritos en el capítulo 6. Es
necesario anticipar que las resistencias a la fatiga serán mucho menores.
8-10
8-11
Tabla 8-16
Factores de concentración
del esfuerzo de fatiga Kf de
elementos roscados
9
W.D. Pilkey, Petersons Stress Concentration Factors, 2a. ed., John Wiley Sons, Nueva York, 1997, p. 387.
Grado
SAE
Grado
métrico
Roscas
laminadas
Roscas
cortadas Filete
0 a 2 3.6 a 5.8 2.2 2.8 2.1
4 a 8 6.6 a 10.9 3.0 3.8 2.3
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Para un caso general con una precarga constante y una carga externa en cada uno de los
pernos, la cual fluctúa entre Pmín y Pmáx, cada perno experimentará fuerzas fluctuantes tales
que
Fbmín CPmín Fi (a)
Fbmáx CPmáx Fi (b)
El esfuerzo alternante experimentado por un perno es
σa ⫽
(Fbmáx − Fbmín)/ 2
At
⫽
(CPmáx ⫹ Fi ) − (CPmín ⫹ Fi )
2At
σa ⫽
C(Pmáx − Pmín)
2At
(8-35)
El esfuerzo medio experimentado por un perno es
σm ⫽
(Fbmáx ⫹ Fbmín)/ 2
At
⫽
(CPmáx ⫹ Fi ) ⫹ (CPmín ⫹ Fi )
2At
σm ⫽
C(Pmáx ⫹ Pmín)
2At
⫹
Fi
At
(8-36)
En la figura 8-20 se muestra la línea de carga típica que experimenta un perno, donde el
esfuerzo comienza desde el esfuerzo de precarga y aumenta con una pendiente constante de
a/( m i). La línea de falla de Goodman también se muestra en la figura 8-20. El factor
de seguridad contra la fatiga puede encontrarse al intersecar la línea de carga y la línea de
Goodman para encontrar el punto de intersección (Sm, Sa). La línea de carga está dada por
Línea de carga: Sa ⫽
σa
σm − σi

Sm − σi (a)
Al reordenar la ecuación (6-40), página 291, la línea de Goodman es
Línea de Goodman: Sa ⫽ Se −
Se
Sut
Sm (b)
Si se igualan las ecuaciones (a) y (b), se despeja Sm y después se sustituye Sm de nuevo en la
ecuación (b), resulta
Sa ⫽
Seσa
Sut − σi
Sut σa ⫹ Seσ
m − σi
(c)
Tabla 8-17
Resistencias a la fatiga
completamente corregidas de
pernos y tornillos con roscas
laminadas*
Grado o clase Intervalo de tamaños Resistencia a la fatiga
a
a
a
a
a
a
a
a
* Carga axial, repetidamente aplicada, completamente corregida.
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El factor de seguridad contra la fatiga está dado por
nf =
Sa
σa
(8-37)
Al sustituir la ecuación (c) en la ecuación (8-37) se obtiene
nf =
Se(Sut − σi )
Sut σa + Se(σm − σi )
(8-38)
Este mismo método puede usarse para las otras curvas de falla, aunque el álgebra resulta
un poco más tediosa al poner las ecuaciones en la forma de la ecuación (8-38). Un enfoque
más sencillo sería resolver numéricamente por etapas, primero Sm, después Sa y finalmente nf.
Con frecuencia, el tipo de carga a la fatiga que se encuentra en el análisis de las uniones
empernadas es uno en el que la carga aplicada externamente oscila entre cero y alguna fuerza
máxima P. Esta sería la situación en un cilindro a presión, por ejemplo, donde la presión
existe o no existe. Para estos casos, las ecuaciones (8-35) y (8-36) pueden simplificarse al
establecer de Pmáx P y Pmín 0, lo que resulta en
σa =
CP
2At
(8-39)
σm =
CP
2At
+
Fi
At
(8-40)
Observe que la ecuación (8-40) puede verse como la suma del esfuerzo alternante y el esfuer-
zo de precarga. Si la precarga se considera constante, la relación de la línea de carga entre los
esfuerzos alternante y medio puede tratarse como
m a i (8-41)
Esta línea de carga tiene una pendiente unitaria, y es un caso especial de la línea de carga
mostrada en la figura 8-20. Con las simplificaciones algebraicas, es posible proceder como
antes para obtener el factor de seguridad contra la fatiga con cada uno de los criterios de falla
típicos, duplicados aquí a partir de las ecuaciones (6-41), (6-42) y (6-43).
Goodman:
Sa
Se
+
Sm
Sut
= 1 (8-42)
Gerber:
Sa
Se
+

Sm
Sut
2
= 1 (8-43)
Figura 8-20
Diagrama de fatiga del diseñador
que muestra una línea de falla
de Goodman y el modo en que
se utiliza una línea de carga para
definir la falla y la seguridad en
uniones con pernos precargadas a
fatiga. En el punto B no hay falla
y el punto C representa la falla.
Se
Sa
␴a
Línea de carga
Esfuerzo
alternante
␴
a
Esfuerzo constante ␴m
B
A
Fi ␴m
␴i =
At
D
C
Sm Sut
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ASME-elíptico:

Sa
Se
2
+

Sm
Sp
2
= 1 (8-44)
Ahora bien, si se interseca la ecuación (8-41) y cada una de las ecuaciones (8-42) a (8-44)
para obtener Sa, y se aplica la ecuación (8-37), se obtienen los factores de seguridad contra la
fatiga para cada uno de los criterios de falla en una situación de cargas repetidas.
Goodman:
nf =
Se(Sut − σi )
σa(Sut + Se)
(8-45)
Gerber:
nf =
1
2σa Se

Sut

S2
ut + 4Se(Se + σi ) − S2
ut − 2σi Se

(8-46)
ASME-elíptico:
nf =
Se
σa(S2
p + S2
e )

Sp

S2
p + S2
e − σ2
i − σi Se

(8-47)
Tenga en cuenta que las ecuaciones (8-45) a (8-47) sólo son aplicables para las cargas repe-
tidas. Asegúrese de usar Kf tanto para a como para m. De lo contrario, la pendiente de la
línea de carga no permanecerá 1 a 1.
Si lo desea, es posible sustituir a de la ecuación (8-39) y i Fi/At directamente en
cualquiera de las ecuaciones (8-45) a (8-47). Si lo hace para el criterio de Goodman en la
ecuación (8-45), se obtiene
nf =
2Se(Sut At − Fi )
C P(Sut + Se)
(8-48)
cuando la precarga Fi está presente. Sin precarga, C 1, Fi 0, con lo cual la ecuación
(8-48) se convierte en
nf 0 =
2Se Sut At
P(Sut + Se)
(8-49)
La precarga es beneficiosa para resistir la fatiga cuando nf /nf 0 es mayor que la unidad. Para
Goodman, las ecuaciones (8-48) y (8-49) con nf /nf 0 1 ponen un límite superior en la pre-
carga Fi de
Fi ≤ (1 − C)Sut At (8-50)
Si esto no puede lograrse, y nf no es satisfactoria, use el criterio de Gerber o el ASME-elíptico
para obtener una evaluación menos conservadora. Si el diseño aún no es satisfactorio, pueden
solicitarse pernos adicionales y/o un tamaño de perno diferente.
Como los pernos flojos son dispositivos de fricción, la carga cíclica y la vibración así
como otros efectos permiten que los sujetadores pierdan tensión con el tiempo. ¿Cómo se
evita el aflojamiento? Dentro de los límites de la resistencia, entre más alta sea la precarga,
mejor. Una regla empírica indica que las precargas de 60 por ciento de la carga de prueba se
aflojan muy pocas veces. Si más es mejor, ¿qué tanto más? No tanto como para hacer que los
sujetadores reutilizados sean una amenaza futura. De manera alternativa, pueden emplearse
esquemas de sujetador-candado.
Después de despejar el factor de seguridad contra la fatiga, se recomienda verificar la
posibilidad de fluencia, usando la resistencia de prueba
np =
Sp
σm + σa
(8-51)
que es equivalente a la ecuación 8-28.
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EJEMPLO 8-5
Solución
Respuesta
Respuesta
Respuesta
En la figura 8-21 una conexión utiliza tornillos de cabeza. La unión está sometida a una fuerza
fluctuante cuyo valor máximo es 5 kip por tornillo. Los datos que se requieren son: tornillo
de cabeza de 5
8 pulg-11 NC, SAE 5; arandela de acero endurecido, t 1
16 pulg de espesor;
recubrimiento de acero, t1 5
8 pulg, Es 30 Mpsi; y base de hierro fundido, t2 5
8 pulg,
Eci 16 MPsi.
a) Encuentre kb, km y C mediante los supuestos dados en la leyenda de la figura 8-21.
b) Determine todos los factores de seguridad y explique lo que significan.
Figura 8-21
Modelo de un elemento de tronco
cónico a presión de un tornillo
de cabeza. En este modelo los
tamaños significativos son:
l =

h + t2/2 t 2 d
h + d/2 t 2 ≥ d
D1 d + l tan ␣ 1.5d
0.577l
D2 = d 1.5d donde l agarre
efectivo. Las soluciones son para
␣ 30° y d 1.5d.
l
D1
h
d
t2
t1
D2
l
2
a) Para los símbolos de la figura 8-15 y 8-21, h t1 t 0.6875 pulg, l h d/2
1 pulg, y D2 1.5d 0.9375 pulg. La unión está compuesta de tres troncos; los dos
troncos superiores son de acero y el inferior es de hierro fundido.
Para el tronco superior: t l/2 0.5 pulg, D 0.9375 pulg, y E 30 Mpsi. Usando
estos valores en la ecuación (8-20) se obtiene k1 46.46 Mlbf/pulg.
Para el tronco medio: t h – l/2 0.1875 pulg y D 0.9375 2(l –h) tan 30° 1.298
pulg. Con estos valores y Es 30 Mpsi, la ecuación (8-20) da k2 197.43 Mlbf/pulg.
El tronco inferior tiene D 0.9375 pulg, t l – h 0.3125 pulg, y Eci 16 Mpsi. La
misma ecuación produce k3 32.39 Mlbf/pulg.
Sustituyendo estas tres rigideces en la ecuación (8-18) se obtiene km 17.40 Mlbf/pulg.
El tornillo de cabeza es corto y completamente roscado. Usando l 1 para el agarre y At
0.226 pulg2
de la tabla 8-2, se encuentra que la rigidez es kb AtE/l 6.78 Mlbf/pulg. Así,
la constante de la unión es
C =
kb
kb + km
=
6.78
6.78 + 17.40
= 0.280
b) De la ecuación (8-30), la precarga es
Fi 0.75 Fp 0.75AtSp 0.75(0.226)(85) 14.4 kip
donde, a partir de la tabla 8-9, Sp 85 kpsi para un tornillo de cabeza de grado 5 SAE.
Usando la ecuación (8-28), se obtiene el factor de carga cuando el factor de seguridad a la
fluencia es
np =
Sp At
CP + Fi
=
85(0.226)
0.280(5) + 14.4
= 1.22
Éste es el factor de seguridad tradicional, que compara el esfuerzo máximo del perno con la
resistencia de prueba.
Con base en la ecuación (8-29),
nL =
Sp At − Fi
CP
=
85(0.226) − 14.4
0.280(5)
= 3.44
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Este factor es un indicador de la sobrecarga sobre P que puede aplicarse sin exceder la resis-
tencia de prueba.
En seguida, usando la ecuación (8-30), se tiene
n0 =
Fi
P(1 − C)
=
14.4
5(1 − 0.280)
= 4.00
Si la fuerza P es muy grande, la unión se separará y el perno recibirá toda la carga. Este factor
protege contra ese evento.
Para los factores restantes, consulte la figura 8-22. Este diagrama contiene la línea de
Goodman modificada, la línea de Gerber, la línea de la resistencia de prueba y la línea de car-
ga. La intersección de la línea de carga L con las líneas de falla respectivas en los puntos C, D
y E definen un conjunto de resistencias Sa y Sm en cada intersección. El punto B representa el
estado de esfuerzo a, m. El punto A es el esfuerzo de precarga i. Por lo tanto, la línea de car-
ga comienza en A y forma un ángulo que tiene una pendiente unitaria. Este ángulo es de 45°
sólo cuando ambos ejes de de los esfuerzos tienen la misma escala.
Sp
Se
Amplitud
del
esfuerzo
␴
a
Componente del esfuerzo constante ␴m
Línea de Gerber
Línea de la
resistencia
de prueba
L
L
␴i Sp Sut
Línea de Goodman modificada
90
Sp
Sm
Sm
Sm
Sa
Sa
Sa
80
70
␴m
␴i
␴a
60
A
B
C
E
D
Figura 8-22
Diagrama de fatiga del diseñador
de pernos precargados, trazado
a escala, que muestra la línea de
Goodman modificada, la línea de
Gerber y la línea de la resistencia
de prueba de Langer, con una
vista amplificada del área de
interés. Las resistencias que se
utilizan son Sp 85 kpsi, Se
18.6 kpsi y Sut 120 kpsi. Las
coordenadas son A, i = 63.72
kpsi; B, a = 3.10 kpsi, m =
66.82 kpsi; C, Sa = 7.55 kpsi, Sm
= 71.29 kpsi; D, Sa = 10.64 kpsi,
Sm = 74.36 kpsi; E, Sa = 11.32
kpsi, Sm = 75.04 kpsi.
Los factores de seguridad se determinan dividiendo las distancias AC, AD y AE entre la
distancia AB. Observe que esto es igual a dividir Sa de cada teoría entre a.
Las cantidades que se muestran en la leyenda de la figura 8-22 se obtienen de la manera
siguiente:
Punto A
σi =
Fi
At
=
14.4
0.226
= 63.72 kpsi
Punto B
σa =
C P
2At
=
0.280(5)
2(0.226)
= 3.10 kpsi
σm = σa + σi = 3.10 + 63.72 = 66.82 kpsi
Respuesta
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Punto C
Éste es el criterio de Goodman modificado. De la tabla 8-17, se encuentra que Se 18.6 kpsi.
Entonces, usando la ecuación (8-45), se encuentra que el factor de seguridad es
nf =
Se(Sut − σi )
σa(Sut + Se)
=
18.6(120 − 63.72)
3.10(120 + 18.6)
= 2.44
Punto D
Éste se encuentra sobre la línea de la resistencia de prueba, donde
Sm + Sa = Sp (1)
Además, la proyección horizontal de la línea de carga AD es
Sm = σi + Sa (2)
Al resolver las ecuaciones (1) y (2) de manera simultánea resulta
Sa =
Sp − σi
2
=
85 − 63.72
2
= 10.64 kpsi
El factor de seguridad resultante es
np =
Sa
σa
=
10.64
3.10
= 3.43
que, por supuesto, es idéntico al resultado que se obtuvo cuando se empleó la ecuación (8-28).
Un análisis similar de un diagrama de fatiga podría haberse hecho usando la resistencia a
la fluencia en vez de la resistencia de prueba. Aunque las dos resistencias están relacionadas
de alguna forma, la resistencia de prueba es un indicador más adecuado y positivo de un perno
completamente cargado de lo que es la resistencia a la fluencia. También resulta útil recordar
que los valores de la resistencia de prueba se especifican en los códigos de diseño, lo cual no
sucede en el caso de las resistencias de fluencia.
Se encontró nf 2.44 con base en las líneas de fatiga y de Goodman modificada, y np
3.43 con base en la resistencia de prueba. Así, el peligro de falla es por fatiga, no por carga
por encima de la prueba. Estos dos factores siempre deben compararse para determinar dónde
reside el mayor peligro.
Punto E
Según el criterio de Gerber, a partir de la ecuación (8-46), el factor de seguridad es
nf =
1
2σa Se

Sut

S2
ut + 4Se(Se + σi ) − S2
ut − 2σi Se

=
1
2(3.10)(18.6)

120

1202 + 4(18.6)(18.6 + 63.72) − 1202
− 2(63.72)(18.6)

= 3.65
el cual es mayor que np 3.43 y contradice la conclusión anterior de que el peligro de falla
es por fatiga. En la figura 8-22 se muestra claramente el conflicto donde el punto D cae entre
los puntos C y E. De nuevo, la naturaleza conservadora del criterio de Goodman explica la
discrepancia y el diseñador debe sacar su propia conclusión.
Respuesta
Respuesta
Respuesta
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Uniones con pernos y remaches cargadas
en cortante10
Las uniones con pernos y remaches sujetas a carga cortante se consideran exactamente igual
en el diseño y el análisis.
En la figura 8-23a) se muestra una conexión con remaches sujeta a carga cortante. Ahora
se estudian los diversos medios por los cuales podría fallar esta conexión.
En la figura 8-23b) se ilustra una falla por flexión del remache de los elementos remacha-
dos. El momento flexionante es aproximadamente M Ft/2, donde F es la fuerza cortante y
t el agarre del remache, esto es, el espesor total de las partes conectadas. El esfuerzo flexio-
nante en los elementos o en el remache está dado, sin considerar la concentración de esfuerzo,
σ =
M
I/c
(8-52)
donde I/c es el módulo de sección del elemento más débil o del remache o remaches, según
sea el esfuerzo que se determine. Esta manera de calcular el esfuerzo flexionante es una
suposición, porque no se sabe con exactitud cómo se distribuye la carga en el remache o las
deformaciones relativas de éste y los elementos. Aunque esta ecuación puede usarse para
determinar el esfuerzo flexionante, en raras ocasiones se emplea en el diseño; en vez de eso
su efecto se compensa mediante un incremento del factor de seguridad.
En la figura 8-23c) se presenta la falla del remache por cortante puro; el esfuerzo en el
remache es
τ =
F
A
(8-53)
8-12
10
El diseño de conexiones con pernos y remachadas de calderas, puentes, edificios y otras estructuras en las que se
pone en riesgo la vida humana está determinado de manera estricta por diferentes códigos de construcción. Cuando
se diseñan estas estructuras, el ingeniero debe consultar el American Institute of Steel Construction Handbook, las
especificaciones de la American Railway Engineering Association o el código para la construcción de calderas de la
American Society of Mechanical Engineers.
Figura 8-23
Modos de falla por carga cortante
de una conexión con pernos o
remaches: a) carga cortante;
b) flexión del remache; c) corte
del remache; d) falla de tensión
de los elementos; e) apoyo del
remache sobre los elementos, o
apoyo de los elementos sobre el
remache; f ) desgarramiento por
cortante; g) desgarramiento
por tensión.
a)
e) f ) g)
b) c) d)
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